Suponha que
sejam
soluções linearmente independentes em
de uma equação diferencial linear homogênea de ordem
com coeficientes constantes. Pelo Teorema 3.2, decorre que
é também uma solução da equação diferencial. O conjunto de soluções
,
é linearmente dependente ou linearmente independente no intervalo
? Discuta.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara:
- Temos
que são soluções linearmente independentes no intervalo de uma equação diferencial linear homogênea de ordem com coeficientes constantes. - Pelo Teorema 3.2, também sabemos que
(a função zero) é solução da mesma equação diferencial. - A pergunta é: o conjunto
é linearmente dependente ou linearmente independente em ?
Nada mais foi pedido além dessa classificação.
Passo 2
Vou lembrar (explicar) detalhadamente o que significa linearmente independente e linearmente dependente no contexto de funções (porque soluções de EDO são funções, ou seja, vetores num espaço de funções).
- Definição: o conjunto de funções
é linearmente independente se, sempre que
para alguns escalares
, então necessariamente todos os coeficientes são nulos:
.
- Se existir uma combinação linear não trivial (isto é, alguns coeficientes não todos nulos) que produza a função zero identicamente, então o conjunto é linearmente dependente.
- Nota importante: a “função zero” é a função que vale
para todo , e ela é o elemento neutro do espaço vetorial de funções (o análogo do vetor zero).
Passo 3
Agora uma observação chave (muito simples, mas fundamental): qualquer conjunto de vetores (ou funções) que contenha o vetor zero é automaticamente linearmente dependente. Vou demonstrar isso passo a passo para ficar cristalino.
- Suponha que o conjunto contenha a função zero, que aqui é
. - Considere a combinação linear com coeficientes
e . - Então essa combinação dá
para todo
. Logo existe uma combinação linear que produz a função zero onde o coeficiente
é não nulo.
- Portanto, pela definição, o conjunto é linearmente dependente.
Passo 4
Vou explicar por que esse argumento não depende de nenhum detalhe da equação diferencial além do fato de que
pertence ao conjunto de soluções:
- A dependência linear é uma propriedade puramente algébrica do conjunto de funções; não importa que as funções sejam soluções de uma EDO. Se uma das funções do conjunto é a função zero, basta a combinação com coeficiente 1 nessa função para obter a combinação não trivial que anula tudo.
- Mesmo que
sejam entre si linearmente independentes (ou mesmo se , o máximo possível de independentes para a EDO), acrescentar a função zero não pode torná-las independentes: a presença do zero já garante dependência.
Passo 5
Dou um exemplo concreto e intuitivo para você fixar: pense em vetores em
. Os vetores
e
são independentes; mas se eu juntar
ao conjunto
, o conjunto passa a ser dependente, porque
é uma combinação não trivial. O mesmo raciocínio vale para funções: por exemplo,
é dependente pelo mesmo motivo.
Passo 6
Conclusão contextualizada e incentivo: portanto, mesmo que você tenha uma base de soluções independentes
, ao adicionar
o conjunto fica dependente. Isso é imediato pela definição; não precisa calcular nada complicado. Força aí — reconhecer esse tipo de armadilha (incluir a função zero) é algo que cai bastante em prova.
Resposta
O conjunto
é linearmente dependente.