Suponha que y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{k} sejam k soluções linearmente independentes em (-\infty, \infty) de uma equação diferencial linear homogênea de ordem n com coeficientes constantes. Pelo Teorema 3.2, decorre que y_{k+1}=0 é também uma solução da equação diferencial. O conjunto de soluções y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{k}, y_{k+1} é linearmente dependente ou linearmente independente no intervalo (-\infty, \infty) ? Discuta.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara:
  • Temos y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{k} que são k soluções linearmente independentes no intervalo (-\infty,\infty) de uma equação diferencial linear homogênea de ordem n com coeficientes constantes.
  • Pelo Teorema 3.2, também sabemos que y_{k+1}=0 (a função zero) é solução da mesma equação diferencial.
  • A pergunta é: o conjunto \{y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{k}, y_{k+1}\} é linearmente dependente ou linearmente independente em (-\infty,\infty)?
    Nada mais foi pedido além dessa classificação.

Passo 2

Vou lembrar (explicar) detalhadamente o que significa linearmente independente e linearmente dependente no contexto de funções (porque soluções de EDO são funções, ou seja, vetores num espaço de funções).
  • Definição: o conjunto de funções \{f_1,\dots,f_m\} é linearmente independente se, sempre que
a_1 f_1(x) + a_2 f_2(x) + \cdots + a_m f_m(x) = 0 \quad\text{para todo } x
para alguns escalares a_1,\dots,a_m, então necessariamente todos os coeficientes são nulos: a_1=a_2=\cdots=a_m=0.
  • Se existir uma combinação linear não trivial (isto é, alguns coeficientes não todos nulos) que produza a função zero identicamente, então o conjunto é linearmente dependente.
  • Nota importante: a “função zero” é a função que vale 0 para todo x, e ela é o elemento neutro do espaço vetorial de funções (o análogo do vetor zero).

Passo 3

Agora uma observação chave (muito simples, mas fundamental): qualquer conjunto de vetores (ou funções) que contenha o vetor zero é automaticamente linearmente dependente. Vou demonstrar isso passo a passo para ficar cristalino.
  • Suponha que o conjunto contenha a função zero, que aqui é y_{k+1}=0.
  • Considere a combinação linear com coeficientes a_1=0, a_2=0,\ldots,a_k=0 e a_{k+1}=1.
  • Então essa combinação dá
0\cdot y_1(x)+0\cdot y_2(x)+\cdots+0\cdot y_k(x)+1\cdot y_{k+1}(x)=y_{k+1}(x)=0
para todo x. Logo existe uma combinação linear que produz a função zero onde o coeficiente a_{k+1}=1 é não nulo.
  • Portanto, pela definição, o conjunto é linearmente dependente.

Passo 4

Vou explicar por que esse argumento não depende de nenhum detalhe da equação diferencial além do fato de que y_{k+1}=0 pertence ao conjunto de soluções:
  • A dependência linear é uma propriedade puramente algébrica do conjunto de funções; não importa que as funções sejam soluções de uma EDO. Se uma das funções do conjunto é a função zero, basta a combinação com coeficiente 1 nessa função para obter a combinação não trivial que anula tudo.
  • Mesmo que y_1,\dots,y_k sejam entre si linearmente independentes (ou mesmo se k=n, o máximo possível de independentes para a EDO), acrescentar a função zero não pode torná-las independentes: a presença do zero já garante dependência.

Passo 5

Dou um exemplo concreto e intuitivo para você fixar: pense em vetores em \mathbb{R}^2. Os vetores (1,0) e (0,1) são independentes; mas se eu juntar (0,0) ao conjunto \{(1,0),(0,1)\}, o conjunto passa a ser dependente, porque 1\cdot(0,0)+0\cdot(1,0)+0\cdot(0,1)=(0,0) é uma combinação não trivial. O mesmo raciocínio vale para funções: por exemplo, \{\sin x,\cos x,0\} é dependente pelo mesmo motivo.

Passo 6

Conclusão contextualizada e incentivo: portanto, mesmo que você tenha uma base de soluções independentes y_1,\dots,y_k, ao adicionar y_{k+1}=0 o conjunto fica dependente. Isso é imediato pela definição; não precisa calcular nada complicado. Força aí — reconhecer esse tipo de armadilha (incluir a função zero) é algo que cai bastante em prova.

Resposta

O conjunto \{y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{k}, y_{k+1}\} é linearmente dependente.

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