Determine uma solução particular y^{\prime \prime}+y=\frac{1}{\sin x}, 0<x<\pi
Passo 1
O enunciado pede: determinar uma solução particular da equação diferencial
y''+y=\frac{1}{\sin x},\qquad 0<x<\pi.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: \displaystyle a equação é linear de segunda ordem não-homogênea; o termo não-homogêneo é \displaystyle \frac{1}{\sin x}; o domínio é (0,\pi) (nota: em (0,\pi) temos \sin x>0, então \ln(\sin x) e \cot x serão bem definidos onde aparecerem).
Passo 2
Escolhi usar o método de variação de parâmetros (justificativa: a equação homogênea associada tem soluções elementares e o método leva a integrais simples aqui). Primeiro encontramos as soluções da equação homogênea associada
y''+y=0.
Duas soluções linearmente independentes desta homogênea são
y_1(x)=\cos x,\qquad y_2(x)=\sin x.
Agora precisamos do Wronskiano W(y_1,y_2)(x). Por definição,
Agora calculamos as integrais (podemos escolher antiderivadas sem constantes, pois constantes multiplicadas por \cos x ou \sin x seriam parte da solução homogênea):
\begin{aligned} y_p''(x)+y_p(x) &= \big(\sin x + x\cos x - \sin x\ln(\sin x) + \frac{\cos^2 x}{\sin x}\big) + \big(-x\cos x + \sin x\ln(\sin x)\big)\\[4pt] &= \sin x + \frac{\cos^2 x}{\sin x}\\[4pt] &= \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x}\\[4pt] &= \frac{1}{\sin x}, \end{aligned}
que é exatamente o lado direito da equação. Assim a verificação está correta.]
Passo 5
Comentário final e observação útil para a prova: a solução particular encontrada
y_p(x)=-x\cos x + \sin x\ln(\sin x)
é válida em (0,\pi) porque usamos \ln(\sin x) e \cot x; em pontos onde \sin x=0 (ou seja x=0,\pi) essas expressões seriam singulares, por isso trabalhamos no intervalo aberto dado. Qualquer constante ou combinação C_1\cos x + C_2\sin x pode ser adicionada para obter a solução geral da equação, mas o enunciado pedia apenas uma solução particular.