Determine uma solução particular
y^{\prime \prime}+y=\frac{1}{\sin x}, 0<x<\pi

Passo 1

O enunciado pede: determinar uma solução particular da equação diferencial
y''+y=\frac{1}{\sin x},\qquad 0<x<\pi.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\displaystyle a equação é linear de segunda ordem não-homogênea; o termo não-homogêneo é \displaystyle \frac{1}{\sin x}; o domínio é (0,\pi) (nota: em (0,\pi) temos \sin x>0, então \ln(\sin x) e \cot x serão bem definidos onde aparecerem).

Passo 2

Escolhi usar o método de variação de parâmetros (justificativa: a equação homogênea associada tem soluções elementares e o método leva a integrais simples aqui). Primeiro encontramos as soluções da equação homogênea associada
y''+y=0.
Duas soluções linearmente independentes desta homogênea são
y_1(x)=\cos x,\qquad y_2(x)=\sin x.
Agora precisamos do Wronskiano W(y_1,y_2)(x). Por definição,
W(x)=\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = y_1 y_2' - y_2 y_1'.
Calculando:
y_1'=-\sin x,\qquad y_2'=\cos x,
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W(x)=\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x) =\cos^2 x + \sin^2 x=1.
O Wronskiano é constante e vale 1, o que simplifica muito as fórmulas.

Passo 3

A fórmula de variação de parâmetros para uma equação y''+y=f(x) com soluções fundamentais y_1,y_2 e W é (escrevo a forma prática):
y_p(x)=-y_1(x)\int \frac{y_2(x)f(x)}{W(x)}\,dx + y_2(x)\int \frac{y_1(x)f(x)}{W(x)}\,dx.
Aqui f(x)=\dfrac{1}{\sin x} e W(x)=1. Substituindo y_1=\cos x,\;y_2=\sin x obtemos os integrandos:
y_2(x)f(x)=\sin x\cdot\frac{1}{\sin x}=1, \qquad y_1(x)f(x)=\cos x\cdot\frac{1}{\sin x}=\cot x.
Agora calculamos as integrais (podemos escolher antiderivadas sem constantes, pois constantes multiplicadas por \cos x ou \sin x seriam parte da solução homogênea):
\int 1\,dx = x, \qquad \int \cot x\,dx = \ln(\sin x).
Portanto uma solução particular é
y_p(x) = -\cos x\cdot x + \sin x\cdot \ln(\sin x).
Escrevendo de forma limpa:
y_p(x) = -x\cos x + \sin x\ln(\sin x).

Passo 4

É importante verificar rapidamente que a função acima de fato satisfaz a equação. Vamos diferenciar cuidadosamente.
Definimos
y_p(x)=-x\cos x + \sin x\ln(\sin x).
Derivada primeira (produto e soma):
\begin{aligned} y_p'(x) &= \frac{d}{dx}(-x\cos x) + \frac{d}{dx}\big(\sin x\ln(\sin x)\big)\\[4pt] &= -\big(\cos x - x\sin x\big) + \big(\cos x\ln(\sin x) + \sin x\cdot\frac{\cos x}{\sin x}\big)\\[4pt] &= -\cos x + x\sin x + \cos x\ln(\sin x) + \cos x\\[4pt] &= x\sin x + \cos x\ln(\sin x). \end{aligned}
Derivada segunda:
\begin{aligned} y_p''(x) &= \frac{d}{dx}\big(x\sin x\big) + \frac{d}{dx}\big(\cos x\ln(\sin x)\big)\\[4pt] &= \big(\sin x + x\cos x\big) + \big(-\sin x\ln(\sin x) + \cos x\cdot\frac{\cos x}{\sin x}\big)\\[4pt] &= \sin x + x\cos x - \sin x\ln(\sin x) + \frac{\cos^2 x}{\sin x}. \end{aligned}
Agora somamos y_p''+y_p:
\begin{aligned} y_p''(x)+y_p(x) &= \big(\sin x + x\cos x - \sin x\ln(\sin x) + \frac{\cos^2 x}{\sin x}\big) + \big(-x\cos x + \sin x\ln(\sin x)\big)\\[4pt] &= \sin x + \frac{\cos^2 x}{\sin x}\\[4pt] &= \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x}\\[4pt] &= \frac{1}{\sin x}, \end{aligned}
que é exatamente o lado direito da equação. Assim a verificação está correta.]

Passo 5

Comentário final e observação útil para a prova: a solução particular encontrada
y_p(x)=-x\cos x + \sin x\ln(\sin x)
é válida em (0,\pi) porque usamos \ln(\sin x) e \cot x; em pontos onde \sin x=0 (ou seja x=0,\pi) essas expressões seriam singulares, por isso trabalhamos no intervalo aberto dado. Qualquer constante ou combinação C_1\cos x + C_2\sin x pode ser adicionada para obter a solução geral da equação, mas o enunciado pedia apenas uma solução particular.

Resposta

y_p(x)=-x\cos x + \sin x\ln(\sin x)

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