Encontre a solução geral das seguintes equações de segunda ordem usando o Wroskiano. y^{\prime \prime}+9 y=9 \operatorname{sec} ^{2}(3 x)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem
y''+9y=9\operatorname{sec}^{2}(3x).
Informações relevantes dadas: \;y'' é a segunda derivada de y em relação a x;
o termo não homogêneo (lado direito) é 9\operatorname{sec}^{2}(3x);
queremos a solução geral y(x), ou seja, a soma da solução geral da homogênea e de uma particular.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
y''+9y=0.
Formamos a equação característica \;r^{2}+9=0\;, cujas raízes são
r=\pm 3i.
Para raízes complexas \pm \alpha i a solução geral homogênea é combinação de cosseno e seno com frequência \alpha. Portanto tomamos uma base de soluções fundamentais
y_{1}(x)=\cos(3x),\qquad y_{2}(x)=\sin(3x),
e a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}\cos(3x)+C_{2}\sin(3x),
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora usamos o método das variações das constantes (variação de parâmetros) para obter uma solução particular. A ideia: procurar
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
com u_{1},u_{2} funções a determinar. Impomos a condição auxiliar
u_{1}'(x)y_{1}(x)+u_{2}'(x)y_{2}(x)=0
para simplificar as equações, e exigimos também
u_{1}'(x)y_{1}'(x)+u_{2}'(x)y_{2}'(x)=R(x),
onde R(x) é o termo não homogêneo, aqui R(x)=9\operatorname{sec}^{2}(3x). Resolvendo esse sistema para u_{1}' e u_{2}' em termos do Wronskiano W das soluções fundamentais obtemos as fórmulas padrão: