Encontre a solução geral das seguintes equações de segunda ordem usando o Wroskiano.
y^{\prime \prime}+9 y=9 \operatorname{sec} ^{2}(3 x)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem
y''+9y=9\operatorname{sec}^{2}(3x).
Informações relevantes dadas:
\;y'' é a segunda derivada de y em relação a x;
o termo não homogêneo (lado direito) é 9\operatorname{sec}^{2}(3x);
queremos a solução geral y(x), ou seja, a soma da solução geral da homogênea e de uma particular.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
y''+9y=0.
Formamos a equação característica \;r^{2}+9=0\;, cujas raízes são
r=\pm 3i.
Para raízes complexas \pm \alpha i a solução geral homogênea é combinação de cosseno e seno com frequência \alpha. Portanto tomamos uma base de soluções fundamentais
y_{1}(x)=\cos(3x),\qquad y_{2}(x)=\sin(3x),
e a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}\cos(3x)+C_{2}\sin(3x),
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora usamos o método das variações das constantes (variação de parâmetros) para obter uma solução particular. A ideia: procurar
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
com u_{1},u_{2} funções a determinar. Impomos a condição auxiliar
u_{1}'(x)y_{1}(x)+u_{2}'(x)y_{2}(x)=0
para simplificar as equações, e exigimos também
u_{1}'(x)y_{1}'(x)+u_{2}'(x)y_{2}'(x)=R(x),
onde R(x) é o termo não homogêneo, aqui R(x)=9\operatorname{sec}^{2}(3x). Resolvendo esse sistema para u_{1}' e u_{2}' em termos do Wronskiano W das soluções fundamentais obtemos as fórmulas padrão:
u_{1}'(x)=-\frac{R(x)\,y_{2}(x)}{W(x)},\qquad u_{2}'(x)=\frac{R(x)\,y_{1}(x)}{W(x)},
onde o Wronskiano é
W(x)=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix}=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}.
Essas fórmulas vêm da resolução do sistema linear para u_1',u_2'; o Wronskiano garante que y_1,y_2 são linearmente independentes.

Passo 4

Calculamos o Wronskiano para y_{1}=\cos(3x) e y_{2}=\sin(3x). Primeiro derivadas:
y_{1}'(x)=-3\sin(3x),\qquad y_{2}'(x)=3\cos(3x).
Então
W(x)=\cos(3x)\cdot 3\cos(3x)-(-3\sin(3x))\cdot\sin(3x)=3\big(\cos^{2}(3x)+\sin^{2}(3x)\big)=3.
Portanto W(x)=3 (constante), o que facilita as integrações.

Passo 5

Usamos R(x)=9\operatorname{sec}^{2}(3x) nas fórmulas de u_{1}' e u_{2}':
u_{1}'(x)=-\frac{9\operatorname{sec}^{2}(3x)\,\sin(3x)}{3}=-3\sin(3x)\operatorname{sec}^{2}(3x),
u_{2}'(x)=\frac{9\operatorname{sec}^{2}(3x)\,\cos(3x)}{3}=3\cos(3x)\operatorname{sec}^{2}(3x).
Simplificamos cada expressão usando \operatorname{sec}(3x)=\dfrac{1}{\cos(3x)}:
u_{1}'(x)=-3\frac{\sin(3x)}{\cos^{2}(3x)}=-3\tan(3x)\operatorname{sec}(3x),
u_{2}'(x)=3\frac{\cos(3x)}{\cos^{2}(3x)}=3\frac{1}{\cos(3x)}=3\operatorname{sec}(3x).

Passo 6

Integramos u_{1}' e u_{2}'.
Para u_{2}:
fazemos a substituição t=3x, dt=3dx. Portanto
u_{2}(x)=\int 3\operatorname{sec}(3x)\,dx=\int \operatorname{sec} t\,dt=\ln\big|\operatorname{sec} t+\tan t\big|+C=\ln\big|\operatorname{sec}(3x)+\tan(3x)\big|+C.
Para u_{1}:
usando t=3x também,
u_{1}(x)=\int -3\tan(3x)\operatorname{sec}(3x)\,dx=\int -\tan t\operatorname{sec} t\,dt=-\operatorname{sec} t + C=-\operatorname{sec}(3x)+C.
Como constantes de integração podem ser absorvidas na solução homogênea, escolhemos uma primitiva sem constantes:
u_{1}(x)=-\operatorname{sec}(3x),\qquad u_{2}(x)=\ln\big|\operatorname{sec}(3x)+\tan(3x)\big|.

Passo 7

Montamos a solução particular
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x).
Substituindo:
y_{p}(x) = \big(-\operatorname{sec}(3x)\big)\cos(3x)+\ln\big|\operatorname{sec}(3x)+\tan(3x)\big|\sin(3x).
Simplificando -\operatorname{sec}(3x)\cos(3x)=-1, obtemos
y_{p}(x)=-1+\sin(3x)\,\ln\big|\operatorname{sec}(3x)+\tan(3x)\big|.

Passo 8

A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}\cos(3x)+C_{2}\sin(3x)-1+\sin(3x)\,\ln\big|\operatorname{sec}(3x)+\tan(3x)\big|.

Resposta

y(x)=C_{1}\cos(3x)+C_{2}\sin(3x)-1+\sin(3x)\,\ln\big|\operatorname{sec}(3x)+\tan(3x)\big|

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