Determine a solução particular de y^prime prime+4 y^prime+4 y=e^-2 x ln x

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular da equação
y'' + 4y' + 4y = e^-2xln x
Aqui o conteúdo é resolver uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes usando variação de parâmetros.

Passo 2

A homogênea associada é
y'' + 4y' + 4y = 0
cuja equação característica é
r^2 + 4r + 4 = 0 ;Longrightarrow; (r + 2)^2 = 0,
logo as soluções fundamentais são
y1 = e^-2x, y2 = x,e^-2x

Passo 3

Calculamos o wronskiano
W = y1 & y2 y1' & y2' = y1,y2' - y1',y2
Aqui
y1' = -2e^-2x, y2' = e^-2x - 2x,e^-2x = e^-2x(1 - 2x),
então
W = e^-2xl(e^-2x(1-2x)r) - l(-2e^-2xr)l(xe^-2xr) = e^-4x(1-2x+2x) = e^-4x

Passo 4

Pelas fórmulas de variação de parâmetros, com f(x)=e^-2xln x, temos
u1' = -f(x),y2W = -e^-2xln x,(x e^-2x)e^-4x = -,xln x,
u2' = f(x),y1W = e^-2xln x,(e^-2x)e^-4x = ln x

Passo 5

Integramos para obter u1 e u2.
Para u1, usamos partes em integral xln x,dx:
integral xln x,dx = x^22ln x - integral x^22cdot1x,dx = x^22ln x - x^24
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u1 = -l(x^22ln x - x^24r) = -x^22ln x + x^24
Para u2 basta
u2 = integral ln x,dx = xln x - x

Passo 6

A solução particular é
yp = u1,y1 + u2,y2 = e^-2xl(u1 + x,u2r)
Calculando
u1 + x,u2 = l(-tfracx^22ln x + tfracx^24r) + xl(xln x - xr) = tfracx^22ln x - tfrac3x^24,
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yp = e^-2x,x^2l(tfrac12ln x - tfrac34r)

Resposta

yp = e^-2x,x^2l(tfrac12ln x - tfrac34r)

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