Encontre a solução geral de y^prime prime-y=1e^x-e^-x

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial
y'' - y = 1e^x - e^-x,
O conteúdo aqui é equações lineares de segunda ordem com termo não--homogêneo. Precisamos achar primeiro a solução geral da homogênea
y'' - y = 0
e depois um particular para incorporar o lado direito 1e^x - e^-x.

Passo 2

Resolvendo a homogênea
y''-y=0
procuramos y=e^rx. Isso dá a equação característica
r^2-1=0Longrightarrow r=pm1
Logo a solução homogênea é
yh=C1e^x+C2e^-x

Passo 3

Para o particular usamos variação de parâmetros. Tomamos
y1=e^x, y2=e^-x,
e o Wronskiano
W=y1y2'-y1'y2 =-2
A fórmula para a solução particular é
yp=-y1integraly2,fW,dx + y2integraly1,fW,dx,
com f(x)=1e^x-e^-x.

Passo 4

Calculamos as integrais
I1=integrale^-xe^x-e^-x,dx, I2=integrale^xe^x-e^-x,dx
Para I1 fazemos t=e^2x, e obtemos
I1 =12ln!l(e^2x-1r)-x
Para I2 fazemos t=e^-2x, e obtemos
I2 =x-tfrac12ln!l(1-e^-2xr)

Passo 5

Substituindo em variação de parâmetros, com W=-2, achamos
yp =12,e^x,I1 -12,e^-x,I2 =14,(e^x+e^-x)ln!l(e^2x-1r) -tfrac12,x,e^x - x,e^-x

Passo 6

A solução geral é a soma da homogênea com o particular:
y(x) =C1e^x+C2e^-x +14l(e^x+e^-xr)ln!l(e^2x-1r) -12x,e^x - x,e^-x

Resposta

boxed y(x) =C1e^x+C2e^-x +14l(e^x+e^-xr)ln!l(e^2x-1r) -12x,e^x - x,e^-x

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