Encontre a solução geral de y^prime prime-y=e^x1+e^2 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y''-y=e^x1+e^2x
Este é um problema de EDO linear de segunda ordem, com coeficientes constantes. Vamos usar a teoria que diz que toda solução é
y(x)=yh(x)+yp(x),
onde yh resolve a equação homogênea associada e yp é uma solução particular. Aqui vamos encontrar yh por caráter r e yp por variação de parâmetros.

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea
y''-y=0
temos a equação característica
r^2-1=0Longrightarrow r=pm1
Logo
yh(x)=C1e^x+C2e^-x,
com C1,C2 constantes arbitrárias.

Passo 3

Pela variação de parâmetros, tomamos as duas soluções fundamentais , e calculamos o wronskiano
Seja
A fórmula dá
Substituindo e resulta em

Passo 4

Calcular as integrais:
  1. I1=integrale^xcosh x,dx.
    Use u=e^x, então du=e^x dx e cosh x=(u+u^-1)/2.
    e^xcosh x =utfracu+u^-12 =2u^2u^2+1, dx=duu,
    daí
    I1 =integral2u^2u^2+1duu =2integraluu^2+1,du =lnl(u^2+1r)+C =lnl(e^2x+1r)+C
  2. I2=integrale^-xcosh x,dx.
    Observe
    e^-xcosh x =2e^2x+1
    Com w=e^x, dw=e^x dx, dx=dw/w, dá
    I2 =integral2w^2+1dww =2integrall(1w-ww^2+1r)dw =2ln|w|-ln(w^2+1)+C =2x-lnl(e^2x+1r)+C

Passo 5

Substituindo I1 e I2 em yp:
yp =e^x4l(2x-ln(e^2x+1)r) -e^-x4l(ln(e^2x+1)r)
Reorganizando,
yp =x,e^x2 -e^x+e^-x4,lnl(1+e^2xr) =x,e^x2 -cosh x2,lnl(1+e^2xr)

Passo 6

Juntando homogênea e particular, a solução geral é
y(x) =C1e^x+C2e^-x +x,e^x2 -cosh x2,lnl(1+e^2xr)

Resposta

boxedy(x)=C1e^x+C2e^-x+x,e^x2-cosh x2,lnl(1+e^2xr)

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