Determine a solução do problema de valor inicial dado.
11. \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=2 t \\\ y(0)=0 ; \quad y^{\prime}(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + y' - 2y = 2t, \quad y(0)=0,\; y'(0)=1.
Este é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos primeiro achar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular, e por fim impor as condições iniciais.

Passo 2

Equação homogênea:
y_h'' + y_h' - 2y_h = 0.
A equação característica é
r^2 + r - 2 = 0
e suas raízes são
r = 1 \quad\text{e}\quad r = -2.
Logo a solução geral homogênea é
y_h(t) = C_1 e^{t} + C_2 e^{-2t}.

Passo 3

Procuramos uma solução particular y_p do tipo polinomial de grau 1, isto é,
y_p(t) = a\,t + b.
Então
y_p' = a, \quad y_p'' = 0.
Substituindo em y''+y'-2y=2t obtemos
0 + a - 2\bigl(a\,t + b\bigr) = 2t \;\Longrightarrow\; -2a\,t + a - 2b = 2t.
Comparando coeficientes de t e termos constantes:
-2a = 2 \quad\Longrightarrow\quad a = -1,
a - 2b = 0 \quad\Longrightarrow\quad -1 - 2b = 0 \;\Longrightarrow\; b = -\tfrac12.
Assim
y_p(t) = -t - \tfrac12.

Passo 4

A solução geral da equação não homogênea é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 e^{t} + C_2 e^{-2t} - t - \tfrac12.

Passo 5

Calculamos a derivada
y'(t) = C_1 e^{t} - 2C_2 e^{-2t} - 1.
Impondo y(0)=0 e y'(0)=1:
y(0)=C_1 + C_2 - \tfrac12 = 0 \quad\Longrightarrow\quad C_1 + C_2 = \tfrac12,
y'(0)=C_1 - 2C_2 -1 = 1 \quad\Longrightarrow\quad C_1 - 2C_2 = 2.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = \tfrac12,\\\ C_1 - 2C_2 = 2, \end{cases}
subtraindo a primeira da segunda obtém-se
-3C_2 = \tfrac32 \;\Longrightarrow\; C_2 = -\tfrac12, \quad C_1 = \tfrac12 - C_2 = \tfrac12 + \tfrac12 = 1.

Resposta

\boxed{ y(t) = e^{t} - \tfrac12 e^{-2t} \;-\; t \;-\; \tfrac12. }

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