Determine a solução do problema de valor inicial dado.
14. \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+4 y=3 \operatorname{sen}(2 t) \\\ y(0)=2 ; \quad y^{\prime}(0)=-1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
y'' + 4y = 3\operatorname{sen}(2t), \quad y(0)=2,\;y'(0)=-1.
O conteúdo envolve EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante senoidal. Como a frequência do forçamento 2 coincide com a da homogênea, teremos ressonância e usaremos o método de coeficientes indeterminados adaptado.

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral da homogênea
y_h'' +4y_h=0.
A equação característica é \lambda^2+4=0, com raízes \lambda=\pm2i. Logo
y_h(t)=C_1\cos(2t)+C_2\operatorname{sen}(2t).

Passo 3

Para a particular, por haver ressonância, tomamos o palpite
y_p(t)=t\bigl(A\cos(2t)+B\operatorname{sen}(2t)\bigr).
Calculando y_p''+4y_p (detalhes omitidos) obtemos
y_p''+4y_p = -4A\operatorname{sen}(2t) +4B\cos(2t).
Igualando a 3\operatorname{sen}(2t)
-4A = 3,\quad 4B = 0 \quad\Longrightarrow\quad A = -\tfrac{3}{4},\;B=0.
Logo
y_p(t) = -\tfrac{3}{4}\,t\cos(2t).

Passo 4

A solução geral é
y(t)=C_1\cos(2t)+C_2\operatorname{sen}(2t)-\tfrac{3}{4}t\cos(2t).
Derivando,
y'(t)=-2C_1\operatorname{sen}(2t)+2C_2\cos(2t) -\tfrac{3}{4}\bigl(\cos(2t)-2t\operatorname{sen}(2t)\bigr).
Em t=0:
y(0)=C_1=2, \quad y'(0)=2C_2 -\tfrac{3}{4} = -1 \;\Longrightarrow\; 2C_2 = -\tfrac{1}{4}\;\Longrightarrow\;C_2=-\tfrac{1}{8}.

Passo 5

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, concluímos que
y(t)=2\cos(2t)\;-\;\tfrac{1}{8}\operatorname{sen}(2t)\;-\;\tfrac{3}{4}\,t\cos(2t).

Resposta

\boxed{y(t)=2\cos(2t)-\tfrac{1}{8}\operatorname{sen}(2t)-\tfrac{3}{4}\,t\cos(2t).}

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