Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
11. \left\{\begin{array}{l}x^{2} y^{\prime \prime}-3 x y^{\prime}+4 y=0 \\\ y(-1)=2 ; \quad y^{\prime}(-1)=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
x^{2}y''-3x\,y'+4y=0,\quad y(-1)=2,\quad y'(-1)=3,
que é uma equação diferencial de Cauchy–Euler. Para resolvê-la, vamos assumir uma solução da forma y=x^{m} e determinar os expoentes m, depois impor as condições iniciais.

Passo 2

Assumindo y=x^{m}, temos
y'=m\,x^{m-1},\qquad y''=m(m-1)\,x^{m-2}.
Substituindo na equação:
x^{2}\bigl[m(m-1)x^{m-2}\bigr]-3x\bigl[m\,x^{m-1}\bigr]+4x^{m}=0.
Isso simplifica para
m(m-1)x^{m}-3m\,x^{m}+4x^{m}=0 \;\Longrightarrow\; \bigl[m(m-1)-3m+4\bigr]x^{m}=0.

Passo 3

O coeficiente de x^{m} dá a equação característica:
m(m-1)-3m+4=0 \;\Longrightarrow\; m^{2}-4m+4=0 \;\Longrightarrow\; (m-2)^{2}=0.
Logo, há raiz dupla m=2.

Passo 4

Para raiz dupla m=2 em equação de Euler, a solução geral é
y(x)=C_{1}x^{2}+C_{2}\,x^{2}\ln\bigl|x\bigr|.

Passo 5

Impondo y(-1)=2:
y(-1)=C_{1}(-1)^{2}+C_{2}(-1)^{2}\ln1 =C_{1}+C_{2}\cdot0 =C_{1}=2.
Então C_{1}=2.

Passo 6

Calculamos y':
y'=2C_{1}x +C_{2}\frac{d}{dx}\bigl[x^{2}\ln|x|\bigr] =2C_{1}x +C_{2}\bigl(2x\ln|x|+x\bigr) =2C_{1}x+C_{2}x\bigl(2\ln|x|+1\bigr).
Em x=-1, usando \ln1=0:
y'(-1)=2C_{1}(-1)+C_{2}(-1)\,(2\cdot0+1) =-2C_{1}-C_{2}=3.
Como C_{1}=2, segue
-2\cdot2 -C_{2}=3 \;\Longrightarrow\; -4 -C_{2}=3 \;\Longrightarrow\; C_{2}=-7.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
\boxed{y(x)=2x^{2}-7\,x^{2}\ln\bigl|x\bigr|.}

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