Determine a solução do problema de valor inicial dado.
13.
13.
Passo 1
O problema é a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
sujeita às condições iniciais
e
.
Para resolver, vamos usar a decomposição em solução geral da homogênea mais uma solução particular, depois aplicamos as condições iniciais.
Para resolver, vamos usar a decomposição em solução geral da homogênea mais uma solução particular, depois aplicamos as condições iniciais.
Passo 2
A equação homogênea associada é
A equação característica é
com raiz dupla
. Logo a solução geral homogênea é
Passo 3
Para a parte não homogênea
, usamos o método de redução de ordem escrevendo
Calculando
igualamos a
, obtendo
Integrando duas vezes:
Os termos com
e
confundem-se com a solução homogênea, então escolhemos
. Assim
Passo 4
Para a parte não homogênea constante
, tentamos
. Como
, fica
Logo
Passo 5
A solução geral é
Passo 6
Calculamos
e
:
Para
, derivando
logo
Resposta
A solução do problema de valor inicial é