Determine a solução do problema de valor inicial dado.
13. \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=t e^{t}+4 \\\ y(0)=1 ; \quad y^{\prime}(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O problema é a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' + y = t e^t + 4,
sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=1.
Para resolver, vamos usar a decomposição em solução geral da homogênea mais uma solução particular, depois aplicamos as condições iniciais.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' - 2y' + y = 0.
A equação característica é
r^2 - 2r + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (r-1)^2 = 0,
com raiz dupla r=1. Logo a solução geral homogênea é
y_h(t) = \bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)e^t.

Passo 3

Para a parte não homogênea t e^t, usamos o método de redução de ordem escrevendo
y_{p1}(t) = u(t)\,e^t.
Calculando
y_{p1}''-2y_{p1}'+y_{p1} = u''(t)\,e^t
igualamos a t e^t, obtendo
u''(t) = t.
Integrando duas vezes:
u'(t) = \frac{t^2}{2} + K_1, \quad u(t) = \frac{t^3}{6} + K_1\,t + K_2.
Os termos com K_1 e K_2 confundem-se com a solução homogênea, então escolhemos K_1=K_2=0. Assim
y_{p1}(t) = \frac{t^3}{6}\,e^t.

Passo 4

Para a parte não homogênea constante 4, tentamos y_{p2}=A. Como y_{p2}''=y_{p2}'=0, fica
0 - 0 + A = 4 \quad\Longrightarrow\quad A=4.
Logo
y_{p2}(t) = 4.

Passo 5

A solução geral é
y(t) = y_h(t) + y_{p1}(t) + y_{p2}(t) = e^t\Bigl(C_1 + C_2 t + \tfrac{t^3}{6}\Bigr) + 4.

Passo 6

Calculamos y(0) e y'(0):
y(0) = e^0\bigl(C_1 + 0 + 0\bigr) + 4 = C_1 + 4 = 1 \quad\Longrightarrow\quad C_1 = -3.
Para y'(t), derivando
y'(t) = e^t\Bigl(C_1 + C_2 t + \tfrac{t^3}{6}\Bigr) + e^t\Bigl(C_2 + \tfrac{t^2}{2}\Bigr),
logo
y'(0) = \bigl(C_1 + C_2\bigr) = 1 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = 1 - C_1 = 1 - (-3) = 4.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
\boxed{y(t) = e^t\Bigl(-3 + 4t + \tfrac{t^3}{6}\Bigr) + 4.}

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