Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
  1. \begin{cases}4 x^{2} y^{\prime \prime}+8 x y^{\prime}+17 y=0 \\\ y(1)=2 ; \quad y^{\prime}(1)=-3\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
4x^{2}y'' + 8x y' + 17y = 0,\quad y(1)=2,\;y'(1)=-3,
que é uma equação de Cauchy–Euler. Vamos usar o método da equação característica assumindo uma solução do tipo y=x^{m}.

Passo 2

Substituindo y=x^{m} na equação, temos
y' = m x^{m-1},\quad y'' = m(m-1)x^{m-2}.
Logo
4x^{2}\bigl(m(m-1)x^{m-2}\bigr) + 8x\bigl(m x^{m-1}\bigr) + 17x^{m} = 0
se reduz a
\bigl[4m(m-1) +8m +17\bigr]x^{m} = 0.
Daí a equação característica é
4m(m-1) + 8m +17 = 0 \;\Longrightarrow\;4m^{2}+4m+17=0.

Passo 3

Resolvendo
4m^{2}+4m+17=0
m = \frac{-4 \pm \sqrt{4^{2}-4\cdot4\cdot17}}{2\cdot4} = \frac{-4 \pm \sqrt{-256}}{8} = -\tfrac12 \pm 2\,i.

Passo 4

Como as raízes são complexas m=-\tfrac12\pm2i, a solução geral real é
y(x) = x^{-\frac12}\Bigl[C_{1}\cos\bigl(2\ln x\bigr)+C_{2}\sin\bigl(2\ln x\bigr)\Bigr].

Passo 5

Para y(1)=2, note que \ln1=0, \cos0=1, \sin0=0 e 1^{-1/2}=1. Assim
y(1)=C_{1}=2\quad\Longrightarrow\quad C_{1}=2.

Passo 6

Agora precisamos de y'. Escrevendo
y = x^{-\frac12}v(x),\quad v(x)=2\cos(2\ln x)+C_{2}\sin(2\ln x),
temos
y' = -\tfrac12 x^{-\frac32}v(x) + x^{-\frac12}v'(x),
e
v'(x)=2\bigl[-2x^{-1}\sin(2\ln x)\bigr] + C_{2}\bigl[2x^{-1}\cos(2\ln x)\bigr] =\frac{2}{x}\bigl[-2\sin(2\ln x)+C_{2}\cos(2\ln x)\bigr].

Passo 7

Em x=1 obtemos v(1)=2, \sin0=0, \cos0=1, de modo que
y'(1) = -\tfrac12\cdot1^{-3/2}\cdot2 +1^{-1/2}\cdot\frac{2}{1}\bigl[-2\cdot0 + C_{2}\cdot1\bigr] = -1 + 2C_{2}.
Como y'(1)=-3, segue
-1 +2C_{2} = -3 \quad\Longrightarrow\quad 2C_{2} = -2 \quad\Longrightarrow\quad C_{2} = -1.

Passo 8

Substituindo C_{1}=2 e C_{2}=-1 na solução geral, concluímos
\boxed{y(x)=x^{-\frac12}\Bigl[2\cos\bigl(2\ln x\bigr)\;-\;\sin\bigl(2\ln x\bigr)\Bigr].}

Resposta

y(x)=x^{-\frac12}\Bigl[2\cos\bigl(2\ln x\bigr)-\sin\bigl(2\ln x\bigr)\Bigr].

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