Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
9. \left\{\begin{array}{l}2 x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-3 y=0 \\\ y(1)=1 ; \quad y^{\prime}(1)=4\end{array}\right.

Passo 1

O problema é uma equação de Cauchy–Euler
2x^{2}y'' + x\,y' - 3y = 0,
com condições iniciais y(1)=1 e y'(1)=4.
Para resolver precisamos:
  1. Escrever na forma padrão x^{2}y'' + a\,x\,y' + b\,y=0.
  2. Obter a equação característica em r.
  3. Encontrar a solução geral y(x)=C_{1}x^{r_{1}}+C_{2}x^{r_{2}}.
  4. Calcular y' e aplicar as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.

Passo 2

Dividindo a equação dada por 2, obtemos a forma padrão
x^{2}y'' + \frac{1}{2}x\,y' - \frac{3}{2}y = 0.

Passo 3

A equação característica associada a
x^{2}y'' + a\,x\,y' + b\,y = 0
é
r(r-1) + a\,r + b = 0.
Aqui a=\tfrac12 e b=-\tfrac32, logo
r(r-1) + \frac12\,r - \frac32 = 0.

Passo 4

Simplificando
r^{2} - r + \frac12\,r - \frac32 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^{2} - \frac12\,r - \frac32 = 0.
Multiplicando por 2:
2r^{2} - r - 3 = 0.
Resolvendo em r:
r = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4} = \frac{1 \pm 5}{4},
portanto
r_{1} = \frac{6}{4} = \frac32, \quad r_{2} = \frac{-4}{4} = -1.

Passo 5

A solução geral da EDO é
y(x) = C_{1}\,x^{\tfrac32} + C_{2}\,x^{-1}.

Passo 6

Calculamos a derivada:
y'(x) = C_{1}\,\frac{3}{2}x^{\tfrac12} - C_{2}\,x^{-2}.

Passo 7

Aplicando y(1)=1:
C_{1}\cdot1^{\tfrac32} + C_{2}\cdot1^{-1} = C_{1} + C_{2} = 1.
Aplicando y'(1)=4:
C_{1}\,\frac{3}{2}\,1^{\tfrac12} - C_{2}\,1^{-2} = \frac{3}{2}C_{1} - C_{2} = 4.

Passo 8

Resolvendo o sistema
\begin{cases} C_{1} + C_{2} = 1,\\\ \tfrac{3}{2}C_{1} - C_{2} = 4, \end{cases}
somando as equações elimina C_{2}:
\frac{5}{2}C_{1} = 5 \;\Longrightarrow\; C_{1} = 2,
e então
C_{2} = 1 - C_{1} = -1.

Resposta

\boxed{y(x) = 2\,x^{\tfrac32} - x^{-1}}.

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