Escolha somente um dos itens abaixo e responda:
Encontre os pontos de mínimo local, máximo local e de sela da função f(x, y)=y\left(e^{x}-1\right). Além disso, determine os valores mínimos e máximos locais.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de mínimo local, máximo local e de sela da função
f(x,y)=y\bigl(e^{x}-1\bigr).
O método envolve (i) calcular as derivadas parciais para achar os pontos críticos e (ii) usar o teste da hessiana para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl[y(e^x-1)\bigr] = y\,e^x, \qquad f_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl[y(e^x-1)\bigr] = e^x-1.
Para pontos críticos resolvemos
y\,e^x = 0, \qquad e^x - 1 = 0.
Da segunda equação segue e^x=1\Rightarrow x=0. Substituindo em y\,e^0=0 y=0. Portanto há um único ponto crítico: (0,0).

Passo 3

O teste da hessiana usa as segundas derivadas:
f_{xx}=y\,e^x, \quad f_{xy}=e^x, \quad f_{yy}=0.
Em (0,0) isto vale
f_{xx}(0,0)=0,\quad f_{xy}(0,0)=1,\quad f_{yy}(0,0)=0.
O determinante da hessiana é
D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = 0\cdot0 - 1^2 = -1 < 0.
Como D<0, o ponto (0,0) é de sela.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0), que é ponto de sela. Não há mínimos nem máximos locais.

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