Determine a solução do Problema de Valor Inicial d yd t+4 y=3 e^2 t ; y(0)=0 :
Escolha uma opção:
y(t)=13(e^t-e^-2 t)
y(t)=36(e^2 t-e^-4 t)
y(t)=53(e^-3 t-e^-t)
Nenhuma das demais alternativas
y(t)=12(e^-t-cos t+sen t)
y(t)=43(1-e^3 t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Equações Diferenciais! A questão pede para encontrar a solução do Problema de Valor Inicial dado pela equação diferencial dydt + 4y = 3e^2t com a condição inicial y(0) = 0. Para isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica comum para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos a equação diferencial na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
dydt + P(t)y = Q(t)
No nosso caso, P(t) = 4 e Q(t) = 3e^2t.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante mu(t) é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt
Substituindo P(t) = 4:
mu(t) = e^integral 4 dt = e^4t

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante mu(t):
e^4t cdot dydt + e^4t cdot 4y = e^4t cdot 3e^2t
Simplificando:
e^4t dydt + 4e^4t y = 3e^6t

Passo 5

A equação à esquerda agora é a derivada do produto y cdot mu(t). Ou seja:
ddt ( y cdot e^4t ) = 3e^6t
Isso simplifica a resolução, porque podemos integrar ambos os lados em relação a t.

Passo 6

Integrando ambos os lados:
integral ddt ( y cdot e^4t ) dt = integral 3e^6t dt
O lado esquerdo simplifica para:
y cdot e^4t = 36 e^6t + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Simplificando a expressão:
y cdot e^4t = 12 e^6t + C
Agora, isolamos y:
y = 12 e^2t + C e^-4t

Passo 8

Aplicamos a condição inicial y(0) = 0 para encontrar a constante C:
0 = 12 e^0 + C e^0 Rightarrow 0 = 12 + C Rightarrow C = -12

Passo 9

Substituímos C na expressão de y:
y(t) = 12 e^2t - 12 e^-4t
Podemos fatorar 12:
y(t) = 12 ( e^2t - e^-4t )

Resposta

A solução do Problema de Valor Inicial é:
y(t) = 12 ( e^2t - e^-4t )
Comparando com as opções fornecidas, a alternativa correta é:
y(t) = 36(e^2 t-e^-4 t)
Que simplifica para:
y(t) = 12(e^2 t-e^-4 t)

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