Determine a solução do Problema de Valor Inicial
:
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Equações Diferenciais! A questão pede para encontrar a solução do Problema de Valor Inicial dado pela equação diferencial
com a condição inicial
. Para isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica comum para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos a equação diferencial na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 5
A equação à esquerda agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Isso simplifica a resolução, porque podemos integrar ambos os lados em relação a
.
Passo 6
Integrando ambos os lados:
O lado esquerdo simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Simplificando a expressão:
Agora, isolamos
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Passo 9
Substituímos
na expressão de
:
Podemos fatorar
:
Resposta
A solução do Problema de Valor Inicial é:
Comparando com as opções fornecidas, a alternativa correta é:
Que simplifica para: