Seja gamma a curva dada pela interseção da semi-esfera x^2+y^2+z^2=4 com o plano z=y, orientada do ponto (2,0,0) para o ponto (-2,0,0). Dado o campo
F(x, y, z)=[x+y+z] i+[ln (1+y^4)+x^2] j+(e^z^2-x^2) k
Calcule integralgamma F cdot d r.

Passo 1

O enunciado pede o valor de
integralgammavec Fcdot dvec r
onde gamma é a curva obtida pela interseção da semi-esfera x^2+y^2+z^2=4, z>=0 com o plano z=y, orientada de (2,0,0) a (-2,0,0).
O conteúdo é integração de linha de um campo vetorial não conservativo, e vamos resolver por parametrização de gamma.

Passo 2

Na interseção vale z=y e x^2+y^2+z^2=4Rightarrow x^2+2y^2=4. Para parametrizar o arco superior (onde y=z>=0) tomamos
x=2cos t, y=z=raiz2sin t,
com tin[0,pi].
Assim
vec r(t)=l(2cos t,;raiz2sin t,;raiz2sin tr), vec r,'(t)=l(-2sin t,;raiz2cos t,;raiz2cos tr)

Passo 3

No ponto vec r(t) temos
P=x+y+z=2cos t+2raiz2sin t,
Q=lnl(1+y^4r)+x^2 =lnl(1+4sin^4tr)+4cos^2t,
R=e^z^2-x^2 =e^2sin^2t-4cos^2t
Também
dx=-2sin t,dt, dy=raiz2cos t,dt, dz=raiz2cos t,dt
Logo
vec Fcdot dvec r =P,dx+Q,dy+R,dz

Passo 4

Substituindo e agrupando, obtém-se
vec Fcdot dvec r =l[-4cos tsin t -4raiz2sin^2t +raiz2cos tln(1+4sin^4t) +4raiz2cos^3t +raiz2cos te^2sin^2t -4raiz2cos^3t r]dt
Os termos +4raiz2cos^3t e -4raiz2cos^3t se cancelam, restando
vec Fcdot dvec r =l[-4cos tsin t -4raiz2sin^2t +raiz2cos t,ln(1+4sin^4t) +raiz2cos t,e^2sin^2t r]dt

Passo 5

Agora integramos t de 0 a pi. Note que
integral0^picos t,f(sin t),dt =integralu=0^0f(u),du=0,
então as integrais contendo cos t,ln(1+4sin^4t) e cos t,e^2sin^2t somam zero. Também
integral0^pi!!4cos tsin t,dt=0.
Fica apenas
integralgammavec Fcdot dvec r =-4raiz2integral0^pisin^2t,dt =-4raiz2cdotpi2 =-2raiz2,pi

Resposta

-2raiz2,pi

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