Seja a curva dada pela interseção da semi-esfera com o plano , orientada do ponto para o ponto . Dado o campo
Calcule .
Passo 1
O enunciado pede o valor de
integralgammavec Fcdot dvec r
onde gamma é a curva obtida pela interseção da semi-esfera x^2+y^2+z^2=4, z>=0 com o plano z=y, orientada de (2,0,0) a (-2,0,0).
O conteúdo é integração de linha de um campo vetorial não conservativo, e vamos resolver por parametrização de gamma.
Passo 2
Na interseção vale z=y e x^2+y^2+z^2=4Rightarrow x^2+2y^2=4. Para parametrizar o arco superior (onde y=z>=0) tomamos
vec Fcdot dvec r =l[-4cos tsin t -4raiz2sin^2t +raiz2cos tln(1+4sin^4t) +4raiz2cos^3t +raiz2cos te^2sin^2t -4raiz2cos^3t r]dt
Os termos +4raiz2cos^3t e -4raiz2cos^3t se cancelam, restando
vec Fcdot dvec r =l[-4cos tsin t -4raiz2sin^2t +raiz2cos t,ln(1+4sin^4t) +raiz2cos t,e^2sin^2t r]dt
Passo 5
Agora integramos t de 0 a pi. Note que integral0^picos t,f(sin t),dt =integralu=0^0f(u),du=0,
então as integrais contendo cos t,ln(1+4sin^4t) e cos t,e^2sin^2t somam zero. Também integral0^pi!!4cos tsin t,dt=0.
Fica apenas
integralgammavec Fcdot dvec r =-4raiz2integral0^pisin^2t,dt =-4raiz2cdotpi2 =-2raiz2,pi