Determine a solução do Problema de Valor Inicial
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo com a condição inicial . Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais, mais especificamente das equações separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis e . Temos:
Isso significa que a taxa de variação de em relação a depende de .
Passo 3
Vamos isolar os termos que envolvem de um lado e os que envolvem do outro:
Isso facilita a integração dos dois lados separadamente.
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo exige uma decomposição em frações parciais. Vamos fazer isso:
Resolvendo para e , encontramos e . Então,
Passo 5
Vamos integrar cada termo:
Onde é a constante de integração.
Passo 6
Vamos combinar os logaritmos:
Podemos simplificar para:
ln ( y2 - y ) = 2t + C'
Onde C' = 2C.
Passo 7
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
y2 - y = e^2t + C' = Ce^2t
Aqui, C = e^C' é uma nova constante.
Passo 8
Vamos resolver para y:
y = 2Ce^2t - yCe^2t y + yCe^2t = 2Ce^2t y(1 + Ce^2t) = 2Ce^2t y = 2Ce^2t1 + Ce^2t
Passo 9
Agora, usamos a condição inicial y(0) = 1 para encontrar C: