Determine a solução do Problema de Valor Inicial y^prime=y(2-y) ; y(0)=1
Escolha uma opção:
y(t)=2 e^t-1
y(t)=2 e^2 t1+e^2 t
Nenhuma das demais alternativas
y(t)=32 e^2 t-12
y(t)=raiz2 ln (t)-2+2 t
y(t)=-e^t+t e^t-e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo y' = y(2 - y) com a condição inicial y(0) = 1. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais, mais especificamente das equações separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis y e t. Temos:
dydt = y(2 - y)
Isso significa que a taxa de variação de y em relação a t depende de y.

Passo 3

Vamos isolar os termos que envolvem y de um lado e os que envolvem t do outro:
dyy(2 - y) = dt
Isso facilita a integração dos dois lados separadamente.

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo exige uma decomposição em frações parciais. Vamos fazer isso:
1y(2 - y) = Ay + B2 - y
Resolvendo para A e B, encontramos A = 12 e B = 12. Então,
integral ( 12y + 12(2 - y) ) dy = integral dt

Passo 5

Vamos integrar cada termo:
12 ln |y| - 12 ln |2 - y| = t + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Vamos combinar os logaritmos:
ln | y2 - y |^1/2 = t + C
Podemos simplificar para:
ln ( y2 - y ) = 2t + C'
Onde C' = 2C.

Passo 7

Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
y2 - y = e^2t + C' = Ce^2t
Aqui, C = e^C' é uma nova constante.

Passo 8

Vamos resolver para y:
y = 2Ce^2t - yCe^2t y + yCe^2t = 2Ce^2t y(1 + Ce^2t) = 2Ce^2t y = 2Ce^2t1 + Ce^2t

Passo 9

Agora, usamos a condição inicial y(0) = 1 para encontrar C:
1 = 2C1 + C 1 + C = 2C C = 1

Passo 10

Substituindo C = 1 na expressão de y:
y(t) = 2e^2t1 + e^2t

Resposta

A solução do Problema de Valor Inicial é:
y(t) = 2 e^2 t1 + e^2 t

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