Determine a solução do Problema de Valor Inicial
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial que é assim:
com a condição
. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, especificamente as lineares. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa é uma equação diferencial linear. Ela pode ser escrita na forma padrão:
No nosso caso, temos:
Então,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Vamos multiplicar toda a equação diferencial pelo fator integrante:
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos calcular a integral
usando integração por partes. Primeiro, definimos:
Aplicando integração por partes:
Passo 7
Agora, calculamos
novamente por partes:
Assim:
Passo 8
Voltando à integral original:
Passo 9
Substituindo de volta na equação de
:
Passo 10
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
Passo 11
Aplicamos a condição inicial
:
Passo 12
Substituindo
de volta na solução geral:
Resposta
Nenhuma das demais alternativas.