Determine a solução do Problema de Valor Inicial d yd t=y-t^2 ; y(1)=0
Escolha uma opção:
y(t)=e^arctg(t)-pi4
y(t)=ln (e+t^3-13)
y(t)=t^2-2 t+2-e^t-1
y(t)=2 e^2(t-1)-e^-2(t-1)e^2(t-1)+e^-2(t-1)
y(t)=2 arctg(e^sen t-sen(1))
Nenhuma das demais alternativas

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial que é assim: dydt = y - t^2 com a condição y(1) = 0. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, especificamente as lineares. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa é uma equação diferencial linear. Ela pode ser escrita na forma padrão:
dydt + P(t)y = Q(t)
No nosso caso, temos:
dydt - y = -t^2
Então, P(t) = -1 e Q(t) = -t^2.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante mu(t) é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) , dt
Substituindo P(t) = -1:
mu(t) = e^integral -1 , dt = e^-t

Passo 4

Vamos multiplicar toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^-t dydt - e^-t y = -t^2 e^-t
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto y e^-t:
ddt ( y e^-t ) = -t^2 e^-t

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a t:
integral ddt ( y e^-t ) dt = integral -t^2 e^-t dt
Isso simplifica para:
y e^-t = -integral t^2 e^-t dt + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Vamos calcular a integral integral t^2 e^-t dt usando integração por partes. Primeiro, definimos:
u = t^2 Rightarrow du = 2t , dt
dv = e^-t dt Rightarrow v = -e^-t
Aplicando integração por partes:
integral t^2 e^-t dt = -t^2 e^-t + 2 integral t e^-t dt

Passo 7

Agora, calculamos integral t e^-t dt novamente por partes:
u = t Rightarrow du = dt
dv = e^-t dt Rightarrow v = -e^-t
Assim:
integral t e^-t dt = -t e^-t + integral e^-t dt = -t e^-t - e^-t + C

Passo 8

Voltando à integral original:
integral t^2 e^-t dt = -t^2 e^-t + 2(-t e^-t - e^-t) + C = -t^2 e^-t - 2t e^-t - 2e^-t + C

Passo 9

Substituindo de volta na equação de y e^-t:
y e^-t = -(-t^2 e^-t - 2t e^-t - 2e^-t) + C = t^2 e^-t + 2t e^-t + 2e^-t + C

Passo 10

Multiplicando ambos os lados por e^t para isolar y:
y = t^2 + 2t + 2 + C e^t

Passo 11

Aplicamos a condição inicial y(1) = 0:
0 = (1)^2 + 2(1) + 2 + C e^1 0 = 1 + 2 + 2 + C e 0 = 5 + C e C = -5e

Passo 12

Substituindo C de volta na solução geral:
y(t) = t^2 + 2t + 2 - 5e e^t = t^2 + 2t + 2 - 5 e^t - 1

Resposta

Nenhuma das demais alternativas.

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