Seja
a curva dada pela interseção do paraboloide
com o plano
, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Calcule
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do integral de linha
sobre a curva
que é a interseção do paraboloide
com o plano
, orientada anti-horário vista de cima.
Conteúdo: uso do Teorema de Stokes em . Vamos interpretar
Conteúdo: uso do Teorema de Stokes em
e aplicar
num plano
cujo contorno é
.
Passo 2
Calcular o rotacional de
. Temos
Logo
Então
Passo 3
Escolhemos
como o pedaço do plano
limitado por
. Nesse plano um vetor normal (não unitário) é
e a orientação “anti-horário vista de cima” corresponde a
com componente
.
Passo 4
Pelo Teorema de Stokes, projetando
no plano
,
Como
,
Passo 5
A projeção
de
no plano
vem da interseção
ou seja
é o disco de raio
. Seu área é
.
Passo 6
Portanto