Seja C a curva dada pela interseção do paraboloide z=4-x^2-y^2 com o plano 2 x+z=4, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Calcule
I=ointC ln (x^2+z^2) d x+[arctan (y^2)-z] d y+[e^x^3] d z

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral de linha
I=ointCP,dx+Q,dy+R,dz
sobre a curva C que é a interseção do paraboloide z=4-x^2-y^2 com o plano 2x+z=4, orientada anti-horário vista de cima.
Conteúdo: uso do Teorema de Stokes em R^3. Vamos interpretar
F=(P,Q,R)=l(ln(x^2+z^2),;arctan(y^2)-z,;e^x^3r)
e aplicar
ointCFcdot dr =integral duplaS(nablatimesF)cdotn,dS
num plano S cujo contorno é C.

Passo 2

Calcular o rotacional de F. Temos
P=ln(x^2+z^2), Q=arctan(y^2)-z, R=e^x^3
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partial Ppartial y=0, partial Ppartial z=2zx^2+z^2, partial Qpartial x=0, partial Qpartial z=-1,
partial Rpartial x=3x^2e^x^3, partial Rpartial y=0
Então
nablatimesF =l(Ry-Qz,;Pz-Rx,;Qx-Pyr) =(1,;tfrac2zx^2+z^2-3x^2e^x^3,;0)

Passo 3

Escolhemos S como o pedaço do plano 2x+z=4 limitado por C. Nesse plano um vetor normal (não unitário) é
N=(2,0,1),
e a orientação “anti-horário vista de cima” corresponde a N com componente z>0.

Passo 4

Pelo Teorema de Stokes, projetando S no plano xy,
ointCFcdot dr =integral duplaD(nablatimesF)cdotN,dx,dy
Como (nablatimesF)cdotN =1cdot2+(cdots)cdot0+0cdot1=2,
ointCFcdot dr =integral duplaD2,dx,dy =2integral duplaDdx,dy

Passo 5

A projeção D de C no plano xy vem da interseção
4-x^2-y^2=4-2x Longrightarrow x^2+y^2=2x Longrightarrow (x-1)^2+y^2=1,
ou seja D é o disco de raio 1. Seu área é pi.

Passo 6

Portanto
ointCFcdot dr =2cdotl(área de Dr) =2pi á

Resposta

I=2pi.

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