Encontre uma solução para o seguinte Problema de Valor Inicial
l d yd x+2x y=sen xx^2 y(pi)=1
E determine y(2 pi) com precisão de no mínimo três casas decimais:
Resposta: square

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial que você me mandou. A gente tem uma equação diferencial do primeiro grau:
d yd x + 2x y = sen xx^2
E a condição inicial é y(pi) = 1 . Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem. A gente vai precisar encontrar esse fator integrante, multiplicar a equação por ele, integrar e então aplicar a condição inicial para achar a solução completa.

Passo 2

Primeiro, identificamos que nossa equação está na forma padrão:
d yd x + P(x) y = Q(x)
Onde P(x) = 2x e Q(x) = sen xx^2 . O próximo passo é encontrar o fator integrante mu(x) , que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Vamos calcular essa integral.

Passo 3

Calculando o fator integrante:
mu(x) = e^integral 2x dx = e^2 ln x = x^2
Então, o fator integrante é mu(x) = x^2 .

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação diferencial por esse fator integrante:
x^2 cdot d yd x + x^2 cdot 2x y = x^2 cdot sen xx^2
Simplificando:
x^2 d yd x + 2x y = sen x
A esquerda da equação agora é a derivada do produto mu(x) y :
dd x (x^2 y) = sen x

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x :
integral dd x (x^2 y) dx = integral sen x , dx
O lado esquerdo simplifica para x^2 y , e o lado direito integra para -cos x + C . Então temos:
x^2 y = -cos x + C

Passo 6

Resolvendo para y :
y = -cos x + Cx^2
Agora, usamos a condição inicial y(pi) = 1 para encontrar o valor de C .

Passo 7

Substituindo x = pi e y = 1 na equação:
1 = -cos pi + Cpi^2
Sabemos que cos pi = -1 , então:
1 = -(-1) + Cpi^2 implies 1 = 1 + Cpi^2
Multiplicando ambos os lados por pi^2 :
pi^2 = 1 + C implies C = pi^2 - 1

Passo 8

Com o valor de C , a solução geral fica:
y(x) = -cos x + pi^2 - 1x^2
Agora, precisamos determinar y(2pi) .

Passo 9

Substituindo x = 2pi na solução:
y(2pi) = -cos (2pi) + pi^2 - 1(2pi)^2
Sabemos que cos (2pi) = 1 , então:
y(2pi) = -1 + pi^2 - 1 4pi^2 = pi^2 - 24pi^2 = 14 - 24pi^2 = 0,25 - 12pi^2
Calculando numericamente:
12pi^2 approx 119,7392 approx 0,0506606
Então:
y(2pi) approx 0,25 - 0,0506606 = 0,1993394

Resposta

y(2pi) approx 0,199

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