Encontre uma solução para o seguinte Problema de Valor Inicial
E determine
com precisão de no mínimo três casas decimais:
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial que você me mandou. A gente tem uma equação diferencial do primeiro grau:
E a condição inicial é
. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem. A gente vai precisar encontrar esse fator integrante, multiplicar a equação por ele, integrar e então aplicar a condição inicial para achar a solução completa.
Passo 2
Primeiro, identificamos que nossa equação está na forma padrão:
Onde
e
. O próximo passo é encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Vamos calcular essa integral.
Passo 3
Calculando o fator integrante:
Então, o fator integrante é
.
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial por esse fator integrante:
Simplificando:
A esquerda da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para
, e o lado direito integra para
. Então temos:
Passo 6
Resolvendo para
:
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
.
Passo 7
Substituindo
e
na equação:
Sabemos que
, então:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Com o valor de
, a solução geral fica:
Agora, precisamos determinar
.
Passo 9
Substituindo
na solução:
Sabemos que
, então:
Calculando numericamente:
Então: