Determine a solução do problema de valor inicial
y^{\prime}=\frac{1+3 x^{2}}{3 y^{2}-6 y}, \quad y(0)=1
Observação. Use o método de separação de variáveis para resolver a equação diferencial.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y' = \frac{1 + 3x^2}{3y^2 - 6y}, \quad y(0)=1,
usando o método de separação de variáveis.

Passo 2

Reescrevemos a equação de modo a separar x e y:
\frac{dy}{dx} = \frac{1 + 3x^2}{3y^2 - 6y} \quad\Longrightarrow\quad (3y^2 - 6y)\,dy = (1 + 3x^2)\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int (3y^2 - 6y)\,dy = \int (1 + 3x^2)\,dx.
No lado esquerdo,
\int 3y^2\,dy = y^3, \qquad \int (-6y)\,dy = -3y^2,
portanto
\int (3y^2 - 6y)\,dy = y^3 - 3y^2 + C_1.
No lado direito,
\int 1\,dx = x, \qquad \int 3x^2\,dx = x^3,
logo
\int (1 + 3x^2)\,dx = x + x^3 + C_2.

Passo 4

Igualando as duas primitivadas (absorvendo a diferença C_2 - C_1 numa constante única C), obtemos a solução implícita geral:
y^3 - 3y^2 = x + x^3 + C.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(0)=1:
\bigl(1\bigr)^3 - 3\cdot\bigl(1\bigr)^2 = 0 + 0 + C \quad\Longrightarrow\quad 1 - 3 = C \quad\Longrightarrow\quad C = -2.

Resposta

A solução implícita do problema de valor inicial é
y^3 - 3y^2 = x + x^3 - 2.

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