Sem resolver o problema de valor inicial
y^{\prime}=x^{2}+y^{2}, \quad y(0)=1
encontre os valores de y^{\prime}(0) e y^{\prime \prime}(0).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' = x^2 + y^2
com condição inicial y(0)=1.
O objetivo é usar essa fórmula e suas derivadas para achar y'(0) e y''(0) sem resolver a equação completamente.

Passo 2

Para obter y'(0), basta substituir x=0 e y(0)=1 na própria equação:
y'(0) = 0^2 + \bigl(y(0)\bigr)^2 = 0 + 1^2 = 1.

Passo 3

Agora precisamos de y''. Diferenciando ambos os lados de y' = x^2 + y^2 em relação a x, obtemos
y'' = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = 2x + 2y\,y'.

Passo 4

Avaliar em x=0, usando y(0)=1 e y'(0)=1:
y''(0) = 2\cdot 0 + 2\cdot 1 \cdot 1 = 2.

Resposta

y'(0) = 1 y''(0) = 2

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