Resolva, através do processo de redução de linhas, os seguintes sistemas de equações lineares.
\left\{\begin{array}{l}x+i y+(-3+i) z=-1-i \\\\ 2 x+(1+3 i) y+(-4+2 i) z=2 i \\\\ 2 i x-2 y+(-2-3 i) z=-1+i\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por eliminação de Gauss (redução de linhas), o sistema linear com coeficientes complexos
\begin{cases} x + i\,y +(-3+i)\,z = -1 - i,\\\\ 2\,x + (1+3i)\,y +(-4+2i)\,z = 2i,\\\\ 2i\,x -2\,y +(-2-3i)\,z = -1 + i. \end{cases}
Vamos montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares para triangularizar.

Passo 2

A matriz aumentada é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & i & -3+i & -1-i\\\\ 2 & 1+3i & -4+2i & 2i\\\\ 2i & -2 & -2-3i & -1+i \end{array}\right].
Escolhemos como pivô da primeira coluna o elemento 1 da linha 1. Zerar abaixo dele com
L_2 \leftarrow L_2 - 2\,L_1,\quad L_3 \leftarrow L_3 - 2i\,L_1.

Passo 3

Após essas operações obtemos
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & i & -3+i & -1-i\\\\ 0 & 1+i & 2 & 2+4i\\\\ 0 & 0 & 3i & -3+3i \end{array}\right].
Agora a terceira equação (linha 3) é
3i\,z = -3 + 3i.

Passo 4

Da linha 3 temos
z = \frac{-3 + 3i}{3i} = \frac{3(-1 + i)}{3i} = \frac{-1 + i}{i} = 1 + i.

Passo 5

Substituindo z=1+i na segunda equação (linha 2), que é
(1+i)\,y + 2\,z = 2 + 4i,
vem
(1+i)\,y + 2(1+i) = 2 + 4i \quad\Longrightarrow\quad (1+i)\,y = (2+4i) - 2 - 2i = 2i \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{2i}{1+i} = 1 + i.

Passo 6

Finalmente, substituímos y=1+i e z=1+i na primeira equação
x + i\,y +(-3+i)\,z = -1 - i.
Calculamos i\,y = -1 + i e (-3+i)\,z = -4 -2i, então
x +(-1+i)+(-4-2i) = -1 - i \quad\Longrightarrow\quad x -5 - i = -1 - i \quad\Longrightarrow\quad x = 4.

Resposta

x = 4,\quad y = 1 + i,\quad z = 1 + i.

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