Um osso fossilizado contém
da quantidade de
presente na amostra originalmente.
(a) Escreva a equação diferencial satisfeita pela quantidade
de
presente na amostra no instante
, assumindo que a taxa de desintegração seja proporcional à quantidade de
presente na amostra em cada instante.
(b) Resolva a equação diferencial encontrada no item anterior e determine uma expressão para
.
(c) Determine a idade do fóssil, considerando que a meia-vida do
seja de 5730 anos.
(a) Escreva a equação diferencial satisfeita pela quantidade
(b) Resolva a equação diferencial encontrada no item anterior e determine uma expressão para
(c) Determine a idade do fóssil, considerando que a meia-vida do
Passo 1
O enunciado diz que um fóssil contém 0,1 % da concentração original de
. Vamos modelar isso por decaimento exponencial, que é um caso de equação diferencial de crescimento/decrescimento, e depois usar a meia-vida de 5730 anos para achar a idade.
Passo 2
Como a taxa de desintegração é proporcional à quantidade presente, escrevemos
onde
é a quantidade de
no tempo
e
é a constante de decaimento.
Passo 3
Resolvendo por separação de variáveis,
Como
, temos
e portanto
Passo 4
A meia-vida
anos satisfaz
Passo 5
Queremos
tal que
. Então
Resposta
(a)
(b)
(c) anos.
(b)
(c)