Um osso fossilizado contém 0,1 \% da quantidade de { }^{14} \mathrm{C} presente na amostra originalmente.
(a) Escreva a equação diferencial satisfeita pela quantidade q(t) de { }^{14} \mathrm{C} presente na amostra no instante t, assumindo que a taxa de desintegração seja proporcional à quantidade de { }^{14} \mathrm{C} presente na amostra em cada instante.
(b) Resolva a equação diferencial encontrada no item anterior e determine uma expressão para q(t).
(c) Determine a idade do fóssil, considerando que a meia-vida do { }^{14} \mathrm{C} seja de 5730 anos.

Passo 1

O enunciado diz que um fóssil contém 0,1 % da concentração original de {}^{14}\mathrm{C}. Vamos modelar isso por decaimento exponencial, que é um caso de equação diferencial de crescimento/decrescimento, e depois usar a meia-vida de 5730 anos para achar a idade.

Passo 2

Como a taxa de desintegração é proporcional à quantidade presente, escrevemos
\frac{dq}{dt} = -k\,q(t),
onde q(t) é a quantidade de {}^{14}\mathrm{C} no tempo t e k>0 é a constante de decaimento.

Passo 3

Resolvendo por separação de variáveis,
\frac{dq}{q} = -k\,dt \quad\Longrightarrow\quad \ln|q| = -k\,t + C \quad\Longrightarrow\quad q(t) = A\,e^{-k\,t}.
Como q(0)=q_0, temos A=q_0 e portanto
q(t) = q_0\,e^{-k\,t}.

Passo 4

A meia-vida \mathrm{T}_{1/2}=5730 anos satisfaz
q(\mathrm{T}_{1/2}) = \tfrac12\,q_0 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac12 = e^{-k\,\mathrm{T}_{1/2}} \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{\ln 2}{\mathrm{T}_{1/2}} = \frac{\ln 2}{5730}.

Passo 5

Queremos t tal que q(t)/q_0 = 0{,}1\%\;=\;0{,}001. Então
0{,}001 = e^{-k\,t} \quad\Longrightarrow\quad t = -\frac{\ln(0{,}001)}{k} = \frac{\ln(1000)}{k} = \frac{\ln(1000)\,5730}{\ln 2} \approx 5,71\times10^{4}\text{ anos}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dq}{dt} = -k\,q(t).
(b) \displaystyle q(t) = q_0\,e^{-k\,t}.
(c) \displaystyle t = \frac{\ln(1000)\,5730}{\ln 2}\approx 5{,}71\times10^{4} anos.

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