Determine a solução dos Problemas de Valor Inicial.
\left\{\begin{array}{l}\frac{d y}{d t}+3 t^{2} y=0 \\\ y(0)=1 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial para a equação diferencial linear de primeira ordem
\frac{dy}{dt} + 3\,t^2\,y = 0
com condição inicial y(0)=1. Vamos usar o método do fator integrante para achar a solução.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(t) definindo
\mu(t) = e^{\displaystyle\int 3\,t^2\,dt} = e^{t^3}.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação original por \mu(t)=e^{t^3}, ficando
e^{t^3}\,\frac{dy}{dt} + 3\,t^2\,e^{t^3}\,y = \frac{d}{dt}\bigl(e^{t^3}y\bigr) = 0.
Integrando em t, obtemos
e^{t^3}y = C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolamos y e aplicamos a condição inicial y(0)=1:
y = C\,e^{-t^3},
e
1 = y(0) = C\,e^{0}\implies C = 1.

Resposta

y(t) = e^{-t^3}.

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