Determine os vilores de r para que:
a EDO 2 y^{\prime \prime \prime}(t)+5 y^{\prime \prime}(t)-3 y^{\prime}(t)=0 tenha solução da forma y(t)=e^{r t}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de r tais que a função
y(t)=e^{r t}
é solução da EDO de coeficientes constantes
2\,y'''(t)+5\,y''(t)-3\,y'(t)=0.
Vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Substituindo y(t)=e^{r t} na EDO, temos
y'(t)=r e^{r t},\quad y''(t)=r^2 e^{r t},\quad y'''(t)=r^3 e^{r t}.
Logo a equação torna-se
2\,r^3 e^{r t}+5\,r^2 e^{r t}-3\,r e^{r t}=0.

Passo 3

Como e^{r t}\neq0, podemos dividir por e^{r t} e obter o polinômio característico
2r^3+5r^2-3r=0.

Passo 4

Fatorando r em evidência, fica
r\,(2r^2+5r-3)=0.
Resolvendo cada fator:
r=0 \quad\text{ou}\quad 2r^2+5r-3=0.
Para a equação quadrática usamos a fórmula de Bhaskara:
r=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot2\cdot(-3)}}{2\cdot2} =\frac{-5\pm\sqrt{25+24}}{4} =\frac{-5\pm7}{4}.
Isso dá as raízes
r=\frac{-5+7}{4}=\frac{2}{4}=\tfrac12 \quad\text{e}\quad r=\frac{-5-7}{4}=-3.

Resposta

Os valores de r são
r\in\left\{0,\;\tfrac12,\;-3\right\}.

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