Determine a solução do Problemn de Valor Inicial.
\left\{\begin{array}{l} \left(2 x+e^{y}\right)+\left(x e^{y}+y\right) \frac{d y}{d x}=0 \\\ y(1)=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial dado por
(2x + e^y) + (x e^y + y)\,\frac{dy}{dx} = 0, \quad y(1)=0.
Essa é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Vamos verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = 2x + e^y, \quad \frac{\partial \varphi}{\partial y} = x e^y + y.

Passo 2

Verificamos a condição de exatidão: se M(x,y)=2x+e^y e N(x,y)=x e^y+y, então
\frac{\partial M}{\partial y} = e^y, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = e^y.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Construímos \varphi(x,y) integrando M em relação a x:
\varphi(x,y) = \int (2x + e^y)\,dx = x^2 + x e^y + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar. Para achar h(y), igualamos
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = x e^y + h'(y)
a N(x,y)=x e^y + y. Logo
h'(y)=y \quad\Longrightarrow\quad h(y)=\frac{y^2}{2}.
Assim
\varphi(x,y)=x^2 + x e^y + \frac{y^2}{2}.

Passo 4

A solução geral vem de \varphi(x,y)=C, ou seja
x^2 + x e^y + \frac{y^2}{2} = C.
Impondo a condição inicial y(1)=0, obtemos
1^2 + 1\cdot e^0 + \frac{0^2}{2} = 1 + 1 = 2,
logo C=2.

Resposta

A solução implícita do problema de valor inicial é
\boxed{ x^2 + x e^y + \frac{y^2}{2} = 2. }

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