Determine a solução dos Problemas de Valor Inicial.
\left\{\begin{array}{l}2 \frac{d y}{d t}+y=3 t \\\ y(1)=\frac{2}{3},\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial linear de primeira ordem
2\frac{dy}{dt}+y=3t,
com condição inicial y(1)=\tfrac{2}{3}. Vamos colocar a equação em forma padrão, encontrar o fator integrante, resolver a integral e usar a condição para determinar a constante de integração.

Passo 2

Dividimos toda a equação por 2 para obter a forma
\frac{dy}{dt}+\frac{1}{2}y=\frac{3}{2}\,t.
O coeficiente de y é \tfrac12, logo o fator integrante é
\mu(t)=e^{\int \tfrac12\,dt}=e^{t/2}.

Passo 3

Multiplicamos a equação padrão por \mu(t) e reconhecemos o lado esquerdo como derivada de produto:
e^{t/2}\frac{dy}{dt}+\frac{1}{2}e^{t/2}y =\frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{t/2}\bigr) \quad\text{e} \quad \frac{3}{2}\,t\,e^{t/2}\text{ no lado direito.}
Integrando ambos os lados em relação a t:
\int \frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{t/2}\bigr)\,dt =\int \frac{3}{2}\,t\,e^{t/2}\,dt.
Fazendo integração por partes em \displaystyle\int t\,e^{t/2}dt, obtemos
y\,e^{t/2} =3\,t\,e^{t/2}-6\,e^{t/2}+C
ou seja
y=3t-6+Ce^{-t/2}.

Passo 4

Usamos a condição inicial y(1)=\tfrac23:
\frac{2}{3}=3\cdot1-6+C\,e^{-1/2} \;\Longrightarrow\; \frac{2}{3}=-3+C\,e^{-1/2} \;\Longrightarrow\; C\,e^{-1/2}=\frac{11}{3} \;\Longrightarrow\; C=\frac{11}{3}e^{1/2}.

Passo 5

Substituindo C em y(t)=3t-6+Ce^{-t/2}, obtemos
y(t)=3t-6+\frac{11}{3}e^{1/2}e^{-t/2} =3t-6+\frac{11}{3}e^{\frac{1-t}{2}}.

Resposta

\boxed{y(t)=3t-6+\frac{11}{3}\,e^{\frac{1-t}{2}}.}

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