Seja a EDO
onde
.
(a) Considere a mudança de variável
transforme a EDO (1) na EDO
.
(b) Usando o item (a) determine a solução geral da EDO (1).
(a) Considere a mudança de variável
(b) Usando o item (a) determine a solução geral da EDO (1).
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que façamos a mudança de variável
de modo a obter uma equação linear em
. O conteúdo aqui envolve a transformação de uma equação de Bernoulli e a solução de uma equação diferencial linear de primeira ordem.
Passo 2
Começamos calculando
em função de
. Como
, temos
Na equação original,
. Substituindo,
Rearranjando, obtemos
que é justamente a forma linear anunciada.
Passo 3
Para resolver
vemos que o coeficiente de
é
. O fator integrante é
Multiplicando a equação por
obtemos
e o lado esquerdo é a derivada de
:
Integrando em
,
onde
é constante de integração. Logo
Passo 4
Voltando a
, temos
, isto é
Aqui
é a constante arbitrária da solução geral.
Resposta
com
constante de integração.