Seja a EDO \frac{d y}{d t}+\frac{1}{t} y=t^{3} y^{2} onde y=y(t), t>0.
(a) Considere a mudança de variável z(t)=y^{-1}(t) transforme a EDO (1) na EDO \frac{d z(t)}{d t}-\frac{1}{t} z(t)=-t^{3}.
(b) Usando o item (a) determine a solução geral da EDO (1).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dt} + \frac{1}{t}\,y = t^{3}\,y^{2},\quad t>0,
e pede que façamos a mudança de variável
z(t)=\frac{1}{y(t)},
de modo a obter uma equação linear em z. O conteúdo aqui envolve a transformação de uma equação de Bernoulli e a solução de uma equação diferencial linear de primeira ordem.

Passo 2

Começamos calculando \tfrac{dz}{dt} em função de y. Como z=y^{-1}, temos
\frac{dz}{dt} = -y^{-2}\,\frac{dy}{dt}.
Na equação original, \tfrac{dy}{dt}=t^{3}y^{2}-\tfrac{1}{t}y. Substituindo,
\frac{dz}{dt} = -y^{-2}\Bigl(t^{3}y^{2} - \frac{1}{t}y\Bigr) = -t^{3} + \frac{1}{t}\,\frac{y}{y^{2}} = -t^{3} + \frac{1}{t}\,z.
Rearranjando, obtemos
\frac{dz}{dt} - \frac{1}{t}\,z = -\,t^{3},
que é justamente a forma linear anunciada.

Passo 3

Para resolver
\frac{dz}{dt} - \frac{1}{t}\,z = -\,t^{3}
vemos que o coeficiente de z é P(t)=-\tfrac{1}{t}. O fator integrante é
\mu(t) = \exp\!\Bigl(\int P(t)\,dt\Bigr) = \exp\!\Bigl(\int -\tfrac{1}{t}\,dt\Bigr) = \exp(-\ln t) = t^{-1}.
Multiplicando a equação por \mu(t)=t^{-1} obtemos
t^{-1}\frac{dz}{dt} - t^{-2}z = -\,t^{2},
e o lado esquerdo é a derivada de \tfrac{z}{t}:
\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{z}{t}\Bigr) = -\,t^{2}.
Integrando em t,
\frac{z}{t} = \int -\,t^{2}\,dt = -\frac{t^{3}}{3} + C,
onde C é constante de integração. Logo
z(t) = -\frac{t^{4}}{3} + C\,t.

Passo 4

Voltando a y, temos y=1/z, isto é
y(t) = \frac{1}{-\tfrac{t^{4}}{3} + C\,t} = \frac{3}{-t^{4} + 3C\,t} = \frac{3}{t\,(3C - t^{3})}.
Aqui C é a constante arbitrária da solução geral.

Resposta

y(t) = \frac{1}{C\,t - \tfrac{t^{4}}{3}} \quad\text{ou, equivalentemente}\quad y(t) = \frac{3}{t\,(3C - t^{3})},
com C constante de integração.

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