Resolva os problemas: Métodos de Integração
\int \operatorname{sec} (5 x-\pi) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \operatorname{sec}\bigl(5x - \pi\bigr)\,dx
O conteúdo principal é usar substituição de variável e a fórmula conhecida de
\int \operatorname{sec}(u)\,du = \ln\bigl|\operatorname{sec}(u)+\tan(u)\bigr| + C.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 5x - \pi
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du = 5\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{5}.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int \operatorname{sec}\bigl(5x - \pi\bigr)\,dx = \int \operatorname{sec}(u)\,\frac{du}{5} = \frac{1}{5}\,\int \operatorname{sec}(u)\,du.
Agora aplicamos a fórmula de integração de \operatorname{sec}(u):

Passo 4

\frac{1}{5}\,\int \operatorname{sec}(u)\,du = \frac{1}{5}\,\ln\bigl|\operatorname{sec}(u)+\tan(u)\bigr| + C.
Voltando à variável x:

Passo 5

\frac{1}{5}\,\ln\bigl|\operatorname{sec}\bigl(5x-\pi\bigr)+\tan\bigl(5x-\pi\bigr)\bigr| + C.
Como \operatorname{sec}(\theta-\pi)=-\operatorname{sec}\theta e \tan(\theta-\pi)=\tan\theta, dentro do valor absoluto o sinal “–” desaparece, ficando equivalente a
\frac{1}{5}\,\ln\bigl|\operatorname{sec}(5x)+\tan(5x)\bigr| + C.

Resposta

\int \operatorname{sec}\bigl(5x-\pi\bigr)\,dx = \frac{1}{5}\,\ln\bigl|\operatorname{sec}\bigl(5x-\pi\bigr)+\tan\bigl(5x-\pi\bigr)\bigr| + C
que pode ser simplificado para
\frac{1}{5}\,\ln\bigl|\operatorname{sec}(5x)+\tan(5x)\bigr| + C.

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