Resolva os problemas: Métodos de Integração
\int \frac{x-1}{\left(x^{2}+2 x+3\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{x-1}{\bigl(x^{2}+2x+3\bigr)^{2}}\,dx
Usaremos técnicas de substituição para completar o quadrado no denominador e depois métodos de integração de funções racionais e arctangente.

Passo 2

Complete o quadrado no denominador definindo
u = x + 1, \quad \text{logo} \quad x = u - 1, \quad dx = du.
Então
x^2 + 2x + 3 = (x+1)^2 + 2 = u^2 + 2
e
x-1 = (u-1)-1 = u - 2.
A integral fica
\int \frac{u - 2}{(u^2 + 2)^2}\,du.

Passo 3

Separe em duas integrais:
\int \frac{u}{(u^2+2)^2}\,du \;-\; 2 \int \frac{1}{(u^2+2)^2}\,du.

Passo 4

Para a primeira parte, faça a substituição auxiliar t = u^2+2, dt = 2u\,du. Então
\int \frac{u}{(u^2+2)^2}\,du = \frac12 \int t^{-2}\,dt = -\frac1{2t} = -\frac1{2(u^2+2)}.

Passo 5

Para a segunda parte, use a fórmula padrão
\int \frac{du}{(u^2+a^2)^2} = \frac{u}{2a^2(u^2+a^2)} + \frac1{2a^3}\arctan\!\Bigl(\frac{u}{a}\Bigr),
com a^2=2, a=\sqrt2. Assim,
\int \frac{du}{(u^2+2)^2} = \frac{u}{4(u^2+2)} + \frac1{4\sqrt2}\arctan\!\Bigl(\frac{u}{\sqrt2}\Bigr).
Multiplicando por 2 (do passo 3) e com sinal menos,
-2\int \frac{du}{(u^2+2)^2} = -\frac{u}{2(u^2+2)} - \frac1{2\sqrt2}\arctan\!\Bigl(\frac{u}{\sqrt2}\Bigr).

Passo 6

Somando as duas partes do passo 4 e do passo 5:
-\frac1{2(u^2+2)} \;-\;\frac{u}{2(u^2+2)} \;-\;\frac1{2\sqrt2}\arctan\!\Bigl(\frac{u}{\sqrt2}\Bigr) = -\frac{u+1}{2(u^2+2)} -\frac1{2\sqrt2}\arctan\!\Bigl(\frac{u}{\sqrt2}\Bigr).
Volte à variável x, lembrando u=x+1 e u^2+2=x^2+2x+3.

Resposta

-\frac{x+2}{2\bigl(x^2+2x+3\bigr)} -\frac1{2\sqrt2}\,\arctan\!\Bigl(\frac{x+1}{\sqrt2}\Bigr) + C

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