Encontre a solução geral da equação diferencial ordinária
\frac{d y}{d x}=\frac{2 x^{2}+5 y^{2}}{x y}
na região x>y>0.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
\frac{dy}{dx}=\frac{2x^{2}+5y^{2}}{xy}
na região x>y>0.
O tipo de equação é compatível com a substituição que torna y/x em nova variável, pois o membro direito depende de razões x/y e y/x.

Passo 2

Definimos
v=\frac{y}{x}\,,
logo y=v x. Diferenciando em relação a x
\frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}\,.

Passo 3

Substituindo na equação original obtemos
v + x\frac{dv}{dx} =\frac{2x^{2}}{x\,y}+\frac{5y^{2}}{x\,y} =\frac{2x}{y}+\frac{5y}{x} =\frac{2}{v}+5v\,,
portanto
x\frac{dv}{dx}=\frac{2}{v}+5v - v =\frac{2}{v}+4v\,.

Passo 4

Separamos variáveis escrevendo
\frac{dv}{dx} =\frac{2/(v)+4v}{x} \;\Longrightarrow\; \frac{v}{2+4v^{2}}\,dv=\frac{dx}{x}\,.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
\int \frac{v}{2+4v^{2}}\,dv =\int \frac{dx}{x}\,.
Para o lado esquerdo, note que 2+4v^{2}=2(1+2v^{2}) e d(1+2v^{2})=4v\,dv, então
\int \frac{v}{2+4v^{2}}\,dv =\frac{1}{2}\int \frac{v}{1+2v^{2}}\,dv =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\int \frac{d(1+2v^{2})}{1+2v^{2}} =\frac{1}{8}\ln\bigl(1+2v^{2}\bigr)\,.
Do lado direito vem \ln|x|+C. Assim
\frac{1}{8}\ln\bigl(1+2v^{2}\bigr)=\ln x + C \;\Longrightarrow\; \ln\bigl(1+2v^{2}\bigr)=8\ln x + C'
com C'=8C.

Passo 6

Voltando a v=y/x, temos
1+2\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^{2} =C\,x^{8}
para certa constante C. Multiplicando por x^{2} resulta
x^{2}+2y^{2}=C\,x^{10}\,.

Resposta

A solução geral na região x>y>0 é
x^{2}+2y^{2}=C\,x^{10},
onde C é constante arbitrária.

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