Determine a solução do PVI:
y^prime=cos (t) y;
y(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que foi pedido. Temos um problema de valor inicial (PVI) que nos dá a equação diferencial y' = cos(t) , y e a condição inicial y(0) = 1 . Isso faz parte do estudo das equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos usar métodos que envolvem integrais e a ideia de fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que facilite a resolução. A equação está na forma:
y' = cos(t) , y
Podemos rearranjar para:
dydt - cos(t) , y = 0
Isso nos mostra que é uma equação diferencial linear de primeira ordem.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos encontrar um fator integrante. O fator integrante mu(t) é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) , dt
Aqui, P(t) = -cos(t) . Então, vamos calcular a integral de P(t) :
mu(t) = e^integral -cos(t) , dt = e^-sin(t)

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^-sin(t) cdot dydt - e^-sin(t) cos(t) , y = 0
Isso simplifica a equação para:
ddt ( e^-sin(t) , y ) = 0
A ideia aqui é que o lado esquerdo agora é a derivada de um produto.

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a t :
integral ddt ( e^-sin(t) , y ) dt = integral 0 , dt
Isso nos dá:
e^-sin(t) , y = C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, resolvemos para y(t) :
y(t) = C , e^sin(t)
Utilizamos a propriedade dos exponenciais para isolar y(t) .

Passo 7

Aplicamos a condição inicial y(0) = 1 para encontrar o valor de C :
1 = C , e^sin(0) Rightarrow 1 = C , e^0 Rightarrow C = 1

Resposta

A solução do PVI é:
y(t) = e^sin(t)

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