Determine a solução do PVI:
;
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que foi pedido. Temos um problema de valor inicial (PVI) que nos dá a equação diferencial
e a condição inicial
. Isso faz parte do estudo das equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos usar métodos que envolvem integrais e a ideia de fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que facilite a resolução. A equação está na forma:
Podemos rearranjar para:
Isso nos mostra que é uma equação diferencial linear de primeira ordem.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos encontrar um fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Aqui,
. Então, vamos calcular a integral de
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica a equação para:
A ideia aqui é que o lado esquerdo agora é a derivada de um produto.
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Utilizamos a propriedade dos exponenciais para isolar
.
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resposta
A solução do PVI é: