Determine a única função y=y(x) tal que
d^2 yd x^2=3, y^prime(0)=1 e y(0)=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo envolvendo equações diferenciais. Especificamente, precisamos encontrar uma função y = y(x) que satisfy duas condições iniciais e que a segunda derivada dessa função seja igual a 3. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções e aplicar as condições dadas para encontrar os constantes de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lidar com a segunda derivada. A equação que temos é:
d^2 yd x^2 = 3
Para encontrar a primeira derivada y'(x) , vamos integrar essa expressão em relação a x . A integral de uma constante é a constante multiplicada por x , então:
y'(x) = integral 3 , dx = 3x + C1
Aqui, C1 é a constante de integração que vamos determinar usando uma das condições iniciais.

Passo 3

Agora, usamos a condição inicial que nos dá o valor da primeira derivada no ponto x = 0 :
y'(0) = 1
Substituindo x = 0 na expressão que encontramos para y'(x) :
1 = 3(0) + C1 Rightarrow C1 = 1
Então, a expressão para y'(x) fica:
y'(x) = 3x + 1

Passo 4

Agora, vamos integrar y'(x) para encontrar y(x) :
y(x) = integral (3x + 1) , dx = 32x^2 + x + C2
Aqui, C2 é outra constante de integração que vamos determinar usando a segunda condição inicial.

Passo 5

A segunda condição inicial nos dá o valor de y no ponto x = 0 :
y(0) = 1
Substituindo x = 0 na expressão que encontramos para y(x) :
1 = 32(0)^2 + 0 + C2 Rightarrow C2 = 1
Então, a expressão final para y(x) é:
y(x) = 32x^2 + x + 1

Resposta

A única função que satisfaz as condições dadas é:
y(x) = 32x^2 + x + 1

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