Determine a única função
tal que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo envolvendo equações diferenciais. Especificamente, precisamos encontrar uma função
que satisfy duas condições iniciais e que a segunda derivada dessa função seja igual a 3. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções e aplicar as condições dadas para encontrar os constantes de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lidar com a segunda derivada. A equação que temos é:
Para encontrar a primeira derivada
, vamos integrar essa expressão em relação a
. A integral de uma constante é a constante multiplicada por
, então:
Aqui,
é a constante de integração que vamos determinar usando uma das condições iniciais.
Passo 3
Agora, usamos a condição inicial que nos dá o valor da primeira derivada no ponto
:
Substituindo
na expressão que encontramos para
:
Então, a expressão para
fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar
para encontrar
:
Aqui,
é outra constante de integração que vamos determinar usando a segunda condição inicial.
Passo 5
A segunda condição inicial nos dá o valor de
no ponto
:
Substituindo
na expressão que encontramos para
:
Então, a expressão final para
é:
Resposta
A única função que satisfaz as condições dadas é: