Encontre a área entre as curvas
l l x(t)=3 cos (t) y(t)=4 sin (t) e l x(t)=3 cos (t) y(t)=2 sin (t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área entre duas curvas definidas por funções paramétricas. As curvas dadas são:
x(t) = 3 cos(t) y(t) = 4 sin(t) e x(t) = 3 cos(t) y(t) = 2 sin(t)
Vamos usar conceitos de cálculo integrando para achar essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como são essas curvas. Ambas têm a mesma expressão para x(t) , mas diferentes para y(t) . Isso sugere que são elipses com o mesmo eixo horizontal ( x ) mas diferentes alturas ( y ).
A primeira elipse tem semi-eixo maior a = 3 e semi-eixo menor b = 4 . A segunda tem o mesmo a = 3 mas b = 2 .

Passo 3

A área de uma elipse é dada pela fórmula:
Área = pi times a times b Á
Vamos calcular a área de cada elipse separadamente.

Passo 4

Para a primeira elipse:
a = 3 e b = 4
Então,
Área1 = pi times 3 times 4 = 12pi Á

Passo 5

Para a segunda elipse:
a = 3 e b = 2
Então,
Área2 = pi times 3 times 2 = 6pi Á

Passo 6

Agora, queremos encontrar a área entre as duas curvas. Isso significa subtrair a área da segunda elipse da primeira:
Áreaentre = Área1 - Área2 = 12pi - 6pi = 6pi ÁÁÁ

Resposta

A área entre as duas curvas é 6pi unidades de área.

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