Determine uma solução para o PVI y^prime+y=x, y(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede a solução do PVI
y'+y = x, y(0)=0
Trata-se de uma EDO linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
mu(x) = e^integral 1,dx = e^x
Multiplicando a equação original por mu(x) obtemos
e^xy' + e^xy = x,e^x
O lado esquerdo é a derivada de y,e^x, ou seja
ddxl(y,e^xr) = x,e^x

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(y,e^xr),dx = integral x,e^x,dx
Para integral x,e^x,dx usamos integração por partes com u=x, dv=e^xdx, obtendo
integral x,e^x,dx = x,e^x - integral e^x,dx = x,e^x - e^x + C
Logo
y,e^x = x,e^x - e^x + C

Passo 4

Isolando y temos
y = x - 1 + C,e^-x
Aplicando a condição inicial y(0)=0:
0 = 0 - 1 + C Longrightarrow C = 1

Resposta

y(x) = x - 1 + e^-x

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