Resolva as seguintes equações diferenciais não-homogêneas pelo método dos coeficientes a determinar:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos precisar encontrar a solução geral da homogênea (analisar a equação característica) e depois achar uma solução particular para o termo não homogêneo
.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada à parte homogênea
Resolvendo,
logo há raiz dupla
.
Passo 3
Como
é dupla, a solução geral da homogênea é
Passo 4
Agora usamos o método dos coeficientes a determinar para a parte não homogênea. Como o termo à direita é um polinômio de grau 2, propomos
Calculamos as derivadas:
Passo 5
Substituímos em
:
Expandindo e agrupando potências de
:
Igualando coeficientes, obtemos o sistema
Da primeira equação
. Substituindo na segunda,
dá
. Na terceira,
Passo 6
A solução particular é
e a solução geral da equação não homogênea é