Resolva as seguintes equações diferenciais não-homogêneas pelo método dos coeficientes a determinar:
y^prime prime-4 y^prime+4 y=x^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
y'' - 4y' + 4y = x^2
usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos precisar encontrar a solução geral da homogênea (analisar a equação característica) e depois achar uma solução particular para o termo não homogêneo x^2.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada à parte homogênea
r^2 - 4r + 4 = 0
Resolvendo,
(r-2)^2 = 0
logo há raiz dupla r=2.

Passo 3

Como r=2 é dupla, a solução geral da homogênea é
yh(x) = C1 e^2x + C2 x e^2x

Passo 4

Agora usamos o método dos coeficientes a determinar para a parte não homogênea. Como o termo à direita é um polinômio de grau 2, propomos
yp(x) = Ax^2 + Bx + C
Calculamos as derivadas:
yp'(x) = 2Ax + B, yp''(x) = 2A

Passo 5

Substituímos em y'' - 4y' + 4y = x^2:
2A - 4(2Ax + B) + 4(Ax^2 + Bx + C) = x^2
Expandindo e agrupando potências de x:
4A,x^2 +(-8A + 4B),x + (2A -4B +4C) = 1cdot x^2 + 0cdot x + 0
Igualando coeficientes, obtemos o sistema
4A = 1, -8A +4B = 0, 2A -4B +4C = 0
Da primeira equação A=tfrac14. Substituindo na segunda, -8cdottfrac14+4B=0 B=tfrac12. Na terceira,
2cdottfrac14 -4cdottfrac12 +4C =0 ;Longrightarrow; tfrac12 -2 +4C=0 ;Longrightarrow; C=tfrac38

Passo 6

A solução particular é
yp(x) = tfrac14 x^2 + tfrac12 x + tfrac38,
e a solução geral da equação não homogênea é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^2x + C2 x e^2x + tfrac14 x^2 + tfrac12 x + tfrac38

Resposta

y(x) = C1 e^2x + C2 x e^2x + 14x^2 + 12x + 38

Exercícios relacionados