Resolva as seguintes equações diferenciais não-homogêneas pelo método dos coeficientes a determinar:
y^prime prime+y=sin x

Passo 1

A equação dada é
y^primeprime+y=sin x.
Vamos resolvê-la pelo método dos coeficientes a determinar, que consiste em achar primeiro a solução complementar da parte homogênea e depois uma solução particular que compense o termo não homogêneo sin x.

Passo 2

A parte homogênea satisfaz
y^primeprime+y=0.
A equação característica é
r^2+1=0
com raízes r=pm i, de onde
yh(x)=C1cos x + C2sin x

Passo 3

O termo não homogêneo é sin x, que coincide com uma das funções da solução homogênea. Há, portanto, ressonância de primeira ordem. Multiplicamos o ansatz usual por x e tomamos
yp(x)=xl(Acos x + Bsin xr)

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp'(x) = Acos x - A xsin x + Bsin x + B xcos x,
yp''(x) = -2Asin x + 2Bcos x + xl(-Bsin x - Acos xr)
Substituindo em y''+y obtemos
yp'' + yp = -2Asin x + 2Bcos x
Para igualar a sin x impomos
-2A = 1, 2B = 0,
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A = -tfrac12, B = 0

Passo 5

A solução particular fica
yp(x) = -tfrac12 xcos x,
e então a solução geral da equação original é
y(x) = C1cos x + C2sin x - tfrac12 xcos x

Resposta

y(x) = C1cos x + C2sin x - tfrac12 xcos x

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