Resolva as seguintes equações diferenciais não-homogêneas pelo método dos coeficientes a determinar:
y^prime prime+2 y^prime+y=e^-x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não-homogênea
y'' + 2y' + y = e^-x
usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos primeiro encontrar a solução geral da parte homogênea e depois determinar uma solução particular.

Passo 2

A parte homogênea associada é
y'' + 2y' + y = 0
A equação característica é
r^2 + 2r + 1 = 0
que fatoriza como (r+1)^2=0. Logo, há raiz dupla r=-1 e a solução complementar é
yc = C1 e^-x + C2 x e^-x

Passo 3

Para a solução particular yp, o termo não-homogêneo é e^-x. Como e^-x corresponde à raiz r=-1 de multiplicidade 2, multiplicamos por x^2. Logo, fazemos o palpite
yp = A x^2 e^-x

Passo 4

Vamos calcular yp' e yp''. Definindo f(x)=x^2 e^-x, temos
f'(x) = (2x - x^2)e^-x,
f''(x) = (x^2 - 4x + 2)e^-x
Portanto,
yp' = A f'(x), yp'' = A f''(x)

Passo 5

Substituindo em y''+2y'+y obtemos
yp'' + 2yp' + yp = Al(f'' + 2f' + fr) = Al[, (x^2 -4x +2) + 2(2x - x^2) + x^2 r]e^-x = 2A,e^-x
Para igualar a e^-x, precisamos de 2A=1, ou seja
A = tfrac12

Passo 6

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da complementar e da particular:
y = yc + yp = C1 e^-x + C2 x e^-x + tfrac12 x^2 e^-x

Resposta

y = C1 e^-x + C2 x e^-x + 12 x^2 e^-x

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