Mostre que a solução y(t) do P.V.I. dado, existe no intervalo especificado:
\dot{y}=1+y+y^{2} \cos t, \operatorname{com} y(0)=0, para 0 \leq t \leq \frac{1}{3}

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial \dot y = 1 + y + y^2\cos t, com y(0)=0, e pede para mostrar que existe solução em todo o intervalo 0 \le t \le \tfrac13.
O conteúdo é o teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf, que requer verificar continuidade e condição de Lipschitz em y num retângulo adequado.

Passo 2

Definimos
f(t,y) = 1 + y + y^2\cos t.
Escolhemos um retângulo
R = \bigl\{(t,y)\mid 0\le t\le \tfrac13,\;|y|\le K\bigr\}.
Note que em R, f é contínua e tem derivada parcial em y dada por
\frac{\partial f}{\partial y}(t,y) = 1 + 2y\cos t,
que é contínua em R e, portanto, limitada.

Passo 3

Para encontrar um K tal que a aplicação do teorema garanta existência até t=\tfrac13, estimamos
M = \max_{(t,y)\in R}|f(t,y)| \le 1 + K + K^2,
já que |\cos t|\le1. Pelo teorema de Picard, a solução existe e é única em |t|\le \min\bigl(\tfrac13,\frac{K}{M}\bigr). Queremos \frac{K}{1+K+K^2}\ge \tfrac13.

Passo 4

Escolhemos K=1. Então
M \le 1 + 1 + 1^2 = 3 \quad\Longrightarrow\quad \frac{K}{M} = \frac{1}{3}.
Logo \min\bigl(\tfrac13,\tfrac{1}{3}\bigr)=\tfrac13, ou seja, o teorema garante existência e unicidade de y(t) para |t|\le\tfrac13. Em particular, para 0\le t\le\tfrac13.

Resposta

A solução do P.V.I. existe e é única em todo o intervalo 0 \le t \le \tfrac13.

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