Mostre que a solução
do P.V.I. dado, existe no intervalo especificado:
, para
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
, com
, e pede para mostrar que existe solução em todo o intervalo
.
O conteúdo é o teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf, que requer verificar continuidade e condição de Lipschitz em num retângulo adequado.
O conteúdo é o teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf, que requer verificar continuidade e condição de Lipschitz em
Passo 2
Definimos
Escolhemos um retângulo
Note que em
,
é contínua e tem derivada parcial em
dada por
que é contínua em
e, portanto, limitada.
Passo 3
Para encontrar um
tal que a aplicação do teorema garanta existência até
, estimamos
já que
. Pelo teorema de Picard, a solução existe e é única em
. Queremos
.
Passo 4
Escolhemos
. Então
Logo
, ou seja, o teorema garante existência e unicidade de
para
. Em particular, para
.
Resposta
A solução do P.V.I. existe e é única em todo o intervalo
.