Determine a solução dos PVI’s:
\dot{y}+\frac{2}{t} y=t^{3}, \quad y(1)=2

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial da equação diferencial linear de primeira ordem \dot{y} + \tfrac{2}{t}y = t^3,
com a condição y(1)=2. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
\mu(t) = \exp\Bigl(\int \tfrac{2}{t}\,dt\Bigr) = \exp\bigl(2\ln|t|\bigr) = t^2.

Passo 3

Multiplicando a equação original por \mu(t)=t^2, obtemos
t^2\dot{y} + 2t\,y = t^5,
e o lado esquerdo é exatamente a derivada de t^2y:
\frac{d}{dt}\bigl(t^2y\bigr) = t^5.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
\int \frac{d}{dt}\bigl(t^2y\bigr)\,dt = \int t^5\,dt \quad\Longrightarrow\quad t^2y = \frac{t^6}{6} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolando y, fica
y = \frac{t^6}{6\,t^2} + \frac{C}{t^2} = \frac{t^4}{6} + C\,t^{-2}.

Passo 6

Usamos a condição inicial y(1)=2:
2 = \frac{1^4}{6} + C\cdot1^{-2} = \frac{1}{6} + C \quad\Longrightarrow\quad C = 2 - \frac{1}{6} = \frac{11}{6}.

Resposta

y(t) = \frac{t^4}{6} + \frac{11}{6}\,t^{-2}.

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