Mostre que a solução
do P.V.I. dado, existe no intervalo especificado:
, com
, para
Passo 1
O enunciado considera o problema de valor inicial
com
e pede para mostrar que existe uma solução em
. O conteúdo usado será o Teorema de Picard–Lindelöf (Cauchy–Lipschitz), que garante existência e unicidade local se
for contínua em
e Lipschitz em
.
Passo 2
Verificamos que
é contínua em todo
. Além disso,
que em qualquer retângulo fechado
está limitado por
. Logo
é Lipschitz em
com constante
em
.
Passo 3
Para aplicar o teorema, escolhemos um retângulo
com
e
. Em
temos
Denotamos
Passo 4
O Teorema de Picard–Lindelöf garante a existência de solução no intervalo
Queremos que
, de modo a cobrir todo
. Assim precisamos
Passo 5
Tomando
obtemos
e
Logo
Isto garante existência e unicidade de solução para
. Em particular, para
.
Resposta
A solução
do problema de valor inicial existe (e é única) no intervalo
.