Mostre que a solução y(t) do P.V.I. dado, existe no intervalo especificado:
\dot{y}=e^{-t^{2}}+y^{2}, com y(0)=0, para 0 \leq t \leq \frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado considera o problema de valor inicial
\dot y = f(t,y), \quad y(0)=0,
com
f(t,y)=e^{-t^2}+y^2,
e pede para mostrar que existe uma solução em 0\le t\le\frac12. O conteúdo usado será o Teorema de Picard–Lindelöf (Cauchy–Lipschitz), que garante existência e unicidade local se f for contínua em (t,y) e Lipschitz em y.

Passo 2

Verificamos que f(t,y) é contínua em todo \R^2. Além disso,
\frac{\partial f}{\partial y}(t,y)=2y,
que em qualquer retângulo fechado
R=\{(t,y)\mid |t|\le a,\;|y|\le b\}
está limitado por |2y|\le2b. Logo f é Lipschitz em y com constante L=2b em R.

Passo 3

Para aplicar o teorema, escolhemos um retângulo
R=\{(t,y)\mid |t|\le a,\;|y|\le b\}
com a=\tfrac12 e b>0. Em R temos
|f(t,y)|=|e^{-t^2}+y^2|\le e^{-(0)^2}+b^2=1+b^2.
Denotamos
M=\sup_{R}|f|=1+b^2.

Passo 4

O Teorema de Picard–Lindelöf garante a existência de solução no intervalo
|t|\le h, \quad h=\min\bigl\{a,\;\tfrac{b}{M}\bigr\}.
Queremos que h\ge\tfrac12, de modo a cobrir todo |t|\le\tfrac12. Assim precisamos
\frac{b}{1+b^2}\ge \frac12 \;\Longleftrightarrow\; 2b\ge1+b^2 \;\Longleftrightarrow\; (b-1)^2\le0 \;\Longrightarrow\; b=1.

Passo 5

Tomando b=1 obtemos M=1+b^2=2 e
\frac{b}{M}=\frac{1}{2}.
Logo
h=\min\Bigl\{\tfrac12,\tfrac12\Bigr\}=\frac12.
Isto garante existência e unicidade de solução para |t|\le\tfrac12. Em particular, para 0\le t\le\tfrac12.

Resposta

A solução y(t) do problema de valor inicial existe (e é única) no intervalo \displaystyle 0\le t\le\frac12.

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