Determine a solução dos PVIs:
,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial com uma condição inicial. A equação é:
E a condição inicial é $ y(0) = 0 $.
Aqui,
representa a função degrau unitário que “liga” no instante $ t = 4 $. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que facilita a aplicação do fator integrante. A equação está na forma:
Aqui, o termo $ -5y $ é o coeficiente de $ y $. Nosso objetivo é encontrar uma função que, quando multiplicada por essa equação, facilite a integração. Essa função é o nosso fator integrante $ \mu(t) $.
Passo 3
O fator integrante $ \mu(t) $ é calculado usando a seguinte fórmula:
Onde $ P(t) $ é o coeficiente de $ y $ na equação diferencial. No nosso caso, $ P(t) = -5 $. Então:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante $ \mu(t) = e^{-5t} $:
Isso simplifica a equação para uma forma onde o lado esquerdo se torna a derivada de $ y $ vezes o fator integrante:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a $ t $:
A integral do lado esquerdo simplesmente nos dá $ e^{-5t} y $.
Passo 6
Vamos resolver a integral do lado direito:
A primeira integral é direta:
Para a segunda integral, note que a função degrau $ \mathcal{U}(t-4) $ é zero para $ t < 4 $ e um para $ t \geq 4 $. Então, a integral fica:
Passo 7
Substituindo de volta na equação, temos:
Agora, vamos isolar $ y $:
Simplificando:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial $ y(0) = 0 $ para encontrar a constante $ C $:
Então:
Passo 9
Substituindo $ C = \frac{7}{5} $ na solução geral:
Podemos reescrever isso de forma mais clara, separando os casos antes e depois de $ t = 4 $:
Para $ t < 4 $:
Para $ t \geq 4 $:
Resposta
A solução do PVI é dada por: