Determine a solução dos PVIs:
y^prime-5 y=2-5 U(t-4), y(0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial com uma condição inicial. A equação é:
y^prime - 5y = 2 - 5 U(t-4)
E a condição inicial é $ y(0) = 0 $.
Aqui, y(0) = 0 representa a função degrau unitário que “liga” no instante $ t = 4 $. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que facilita a aplicação do fator integrante. A equação está na forma:
y^prime - 5y = 2 - 5 U(t-4)
Aqui, o termo $ -5y $ é o coeficiente de $ y $. Nosso objetivo é encontrar uma função que, quando multiplicada por essa equação, facilite a integração. Essa função é o nosso fator integrante $ \mu(t) $.

Passo 3

O fator integrante $ \mu(t) $ é calculado usando a seguinte fórmula:
mu(t)
Onde $ P(t) $ é o coeficiente de $ y $ na equação diferencial. No nosso caso, $ P(t) = -5 $. Então:
mu(t) = e^integral P(t) , dt

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante $ \mu(t) = e^{-5t} $:
mu(t) = e^-5t
Isso simplifica a equação para uma forma onde o lado esquerdo se torna a derivada de $ y $ vezes o fator integrante:
e^-5t y^prime - 5 e^-5t y = e^-5t cdot 2 - 5 e^-5t U(t-4)

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a $ t $:
t
A integral do lado esquerdo simplesmente nos dá $ e^{-5t} y $.

Passo 6

Vamos resolver a integral do lado direito:
integral 2 e^-5t dt - integral 5 e^-5t U(t-4) dt
A primeira integral é direta:
integral 2 e^-5t dt = -25 e^-5t + C
Para a segunda integral, note que a função degrau $ \mathcal{U}(t-4) $ é zero para $ t < 4 $ e um para $ t \geq 4 $. Então, a integral fica:
U(t-4)

Passo 7

Substituindo de volta na equação, temos:
e^-5t y = -25 e^-5t - e^-5t + e^-20 + C
Agora, vamos isolar $ y $:
y
Simplificando:
y = -25 - 1 + C e^5t + e^5t e^-20

Passo 8

Aplicamos a condição inicial $ y(0) = 0 $ para encontrar a constante $ C $:
y(0) = 0
Então:
C

Passo 9

Substituindo $ C = \frac{7}{5} $ na solução geral:
C = 75
Podemos reescrever isso de forma mais clara, separando os casos antes e depois de $ t = 4 $:
Para $ t < 4 $:
y(t) = -75 + 75 e^5t + e^-5(t-4) U(t-4)
Para $ t \geq 4 $:
t = 4

Resposta

A solução do PVI é dada por:
y(t) = -dfrac75 + dfrac75 e^5t, & para t < 4 -dfrac75 + dfrac75 e^5t + e^-5(t-4), & para t >= 4

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