Obs. para 8) e 9): A integral de uma curva (ou função vetorial) F(t)=(F1(t), ldots, Fn(t)), no intervalo [a, b], é simplesmente a integral de cada uma de suas funções coordenadas, ou seja
integrala^b F(t) d t=(integrala^b F1(t) d t, integrala^b F2(t) d t, ldots, integrala^b Fn(t) d t)
Obtém-se assim um vetor numérico (pois cada uma destas integrais é um número real).
Calcule a integral das seguintes curvas em R^2, no intervalo [0, pi].
F(t)=(sen t cos t, cos 2 t)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral vetor de F(t)=(sen t cos t, cos 2t) no intervalo [0,π]. O conteúdo envolve integração de funções coordenadas de uma curva em ℝ², usando identidades trigonométricas e integrais definidas.

Passo 2

Vamos escrever a integral coordenada a coordenada. Temos
integral0^piF(t),dt=l(integral0^pisin tcos t,dt,;integral0^picos2t,dtr)

Passo 3

Para a primeira componente, usamos a identidade sin tcos t=tfrac12sin2t. Assim,
integral0^pisin tcos t,dt=tfrac12integral0^pisin2t,dt
Integrando sin2t, obtemos
tfrac12l(-tfrac12cos2tr)|0^pi=-tfrac14l(cos2pi-cos0r)=-tfrac14(1-1)=0

Passo 4

Para a segunda componente, calculamos
integral0^picos2t,dt=tfrac12sin2t|0^pi=tfrac12l(sin2pi-sin0r)=0

Passo 5

Juntando as duas componentes, a integral vetor fica o vetor numérico cujas coordenadas são os resultados obtidos acima.

Resposta

(0,0)

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