Determine a solução do seguinte problema:
\begin{cases}\frac{\partial \omega}{\partial t}=a^{2} \frac{\partial^{2} \omega}{\partial x^{2}}+g(x, t) & \omega:[0, L] \times[0,+\infty) \mapsto \mathbb{R} \\\ \frac{\partial \omega}{\partial x}(0, t)=0 & g:[0, L] \times[0,+\infty) \mapsto \mathbb{R} \\\ \frac{\partial \omega}{\partial x}(L, t)=0 & \\\ \omega(x, 0)=f(x) & f:[0, L] \mapsto \mathbb{R}\end{cases}
Use Expansão em Auto-funções.

Passo 1

O problema é a equação do calor com fonte em [0,L] e condições de contorno de Neumann, ou seja,
\frac{\partial \omega}{\partial t} = a^{2}\,\frac{\partial^{2}\omega}{\partial x^{2}} + g(x,t), \quad \frac{\partial \omega}{\partial x}(0,t)=\frac{\partial \omega}{\partial x}(L,t)=0, \quad \omega(x,0)=f(x).
O método escolhido é expansão em autofunções do operador espacial \partial_{x}^{2} com Neumann: vamos achar seus autovalores e autofunções, expandir \omega e g nessa base e reduzir a PDE a EDOs em cada modo.

Passo 2

Resolvendo o problema de autovalores
\varphi''(x) + \lambda\,\varphi(x)=0,\quad \varphi'(0)=\varphi'(L)=0,
vemos que
\lambda_{0}=0,\\ \phi_{0}(x)=1;\qquad \lambda_{n}=\Bigl(\tfrac{n\pi}{L}\Bigr)^{2},\\ \phi_{n}(x)=\cos\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\Bigr)\quad(n\ge1).
Essas funções são ortogonais em [0,L].

Passo 3

Expandimos
\omega(x,t)=T_{0}(t)\,\phi_{0}(x)+\sum_{n=1}^{\infty}T_{n}(t)\,\phi_{n}(x), \qquad g(x,t)=g_{0}(t)\,\phi_{0}(x)+\sum_{n=1}^{\infty}g_{n}(t)\,\phi_{n}(x).
Os coeficientes iniciais são
f_{0}=\frac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,dx,\quad f_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\Bigr)\,dx\\ (n\ge1),
e os da fonte
g_{0}(t)=\frac{1}{L}\int_{0}^{L}g(x,t)\,dx,\quad g_{n}(t)=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}g(x,t)\cos\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\Bigr)\,dx\\ (n\ge1).

Passo 4

Substituindo essas séries na PDE, multiplicando por cada \phi_{m} e integrando em x, usamos ortogonalidade para obter, para todo n\ge0, a EDO
T_{n}'(t) + a^{2}\,\lambda_{n}\,T_{n}(t) = g_{n}(t), \quad T_{n}(0)=f_{n}.

Passo 5

Cada EDO é linear de primeira ordem e sua solução é
T_{n}(t) = e^{-a^{2}\lambda_{n}t}\,f_{n} + \int_{0}^{t} e^{-a^{2}\lambda_{n}(t-s)}\,g_{n}(s)\,ds.
Em particular, para n=0 temos \lambda_{0}=0 e
T_{0}(t)=f_{0} + \int_{0}^{t}g_{0}(s)\,ds.

Resposta

\boxed{ \omega(x,t) = T_{0}(t) + \sum_{n=1}^{\infty}\Biggl[e^{-a^{2}(\tfrac{n\pi}{L})^{2}t}\,f_{n} +\int_{0}^{t}e^{-a^{2}(\tfrac{n\pi}{L})^{2}(t-s)}\,g_{n}(s)\,ds\Biggr]\, \cos\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\Bigr), }
onde
T_{0}(t)=\frac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,dx +\int_{0}^{t}\!\Bigl[\frac{1}{L}\!\int_{0}^{L}g(x,s)\,dx\Bigr]ds,
f_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\Bigr)\,dx,\quad g_{n}(t)=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}g(x,t)\cos\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\Bigr)\,dx\\ (n\ge1).

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