Determine a solução das seguintes EDO’s:
(2 pontos) \frac{d^{2} y}{d t^{2}}-\frac{d y}{d t}-2 y=10 \operatorname{sen}(t), sujeita às seguintes condições iniciais: y(\pi / 2)=-3 e y^{\prime}(\pi / 2)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
\frac{d^{2}y}{dt^{2}} - \frac{dy}{dt} - 2y = 10\sin(t)
sujeita a
y\bigl(\tfrac\pi2\bigr) = -3, \quad y'\bigl(\tfrac\pi2\bigr) = -1.
O que vamos precisar é (1) encontrar a solução geral da homogênea associada, (2) achar uma particular por coeficientes indeterminados e (3) determinar as constantes pela condição inicial.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' - y' - 2y = 0
cuja equação característica é
r^{2} - r - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (r-2)(r+1)=0 \quad\Longrightarrow\quad r=2,\;-1.
Logo a solução geral da homogênea é
y_{h}(t) = C_{1}e^{2t} + C_{2}e^{-t}.

Passo 3

Para achar uma solução particular de
y'' - y' - 2y = 10\sin(t),
testamos
y_{p}(t) = A\cos(t) + B\sin(t).
Então
y_{p}' = -A\sin(t) + B\cos(t), \quad y_{p}'' = -A\cos(t) - B\sin(t).
Substituindo em y'' - y' -2y\) e igualando a \(10\sin(t)\), obtém-se o sistema \[\begin{cases} -3A - B = 0,\\\ A - 3B = 10, \end{cases}
cuja solução é A=1\], \(B=-3. Portanto
y_{p}(t) = \cos(t) - 3\sin(t).

Passo 4

A solução geral da não-homogênea é
y(t) = y_{h}(t) + y_{p}(t) = C_{1}e^{2t} + C_{2}e^{-t} + \cos(t) - 3\sin(t).

Passo 5

Derivando, temos
y'(t) = 2C_{1}e^{2t} - C_{2}e^{-t} - \sin(t) - 3\cos(t).

Passo 6

Impondo t=\tfrac\pi2:
y\bigl(\tfrac\pi2\bigr) = C_{1}e^{\pi} + C_{2}e^{-\pi/2} - 3 = -3 \quad\Longrightarrow\quad C_{1}e^{\pi} + C_{2}e^{-\pi/2} = 0,
y'\bigl(\tfrac\pi2\bigr) = 2C_{1}e^{\pi} - C_{2}e^{-\pi/2} - 1 = -1 \quad\Longrightarrow\quad 2C_{1}e^{\pi} - C_{2}e^{-\pi/2} = 0.
Resolvendo esse sistema dá C_{1}=0 e C_{2}=0.

Resposta

A solução que satisfaz as condições iniciais é
\boxed{y(t) = \cos(t) - 3\sin(t).}

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