Exercicio: Encontre uma solucis particular das EDO’s:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=-3 x e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' - 3y = -3x e^{-x}.
Aqui vamos usar o método dos coeficientes indeterminados: primeiro identificamos a parte homogênea e depois chutamos uma forma para y_p compatível com o termo forçado -3x e^{-x}.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' - 2y' - 3y = 0
com equação característica
r^2 - 2r - 3 = 0 \;\Longrightarrow\;(r-3)(r+1)=0,
ou seja, os raízes são r=3 e r=-1. Como o termo forçado envolve e^{-x} e r=-1 já é raiz simples, devemos multiplicar por x o “chute” padrão. O termo forçado é um polinômio de grau 1 vezes e^{-x}, então propomos
y_p = (A x^2 + Bx)\,e^{-x}.

Passo 3

Calculamos as derivadas de y_p. Para facilitar, escrevamos
P(x)=A x^2 + Bx,
então
y_p = P(x)e^{-x},\quad y_p' = \bigl(P'(x) - P(x)\bigr)e^{-x},\quad y_p'' = \bigl(P''(x) - 2P'(x) + P(x)\bigr)e^{-x}.
Como P'(x)=2Ax+B e P''(x)=2A, obtemos
y_p' = \bigl(2Ax + B - (Ax^2+Bx)\bigr)e^{-x} =\bigl(-Ax^2 + (2A - B)x + B\bigr)e^{-x},
y_p'' = \bigl(2A - 2(2Ax+B) + (Ax^2+Bx)\bigr)e^{-x} =\bigl(Ax^2 +(-4A+B)x + (2A-2B)\bigr)e^{-x}.

Passo 4

Substituímos na equação
y'' - 2y' -3y = \bigl[Ax^2 +(-4A+B)x + (2A-2B)\bigr]e^{-x} -2\bigl[-Ax^2 + (2A - B)x + B\bigr]e^{-x} -3\bigl[Ax^2 + Bx\bigr]e^{-x}.
Somando termos semelhantes no colchete dá
\bigl(-8A\,x + (2A - 4B)\bigr)e^{-x}.

Passo 5

Igualamos ao lado direito -3x e^{-x}. Assim
-8A\,x + (2A - 4B) = -3x + 0.
Comparando coeficientes de x e constantes:
-8A = -3 \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac{3}{8},
2A - 4B = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2\cdot\tfrac{3}{8} - 4B = 0 \quad\Longrightarrow\quad B = \tfrac{3}{16}.

Resposta

Uma solução particular é
y_p(x) = \bigl(\tfrac{3}{8}x^2 + \tfrac{3}{16}x\bigr)e^{-x}.

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