Exercicio: Encontre uma solucis particular das EDO’s:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=3 e^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular da EDO linear com coeficientes constantes
y'' - 2y' - 3y = 3e^{2x}.
O método de coeficientes a determinar nos diz que, se o termo de força é exponencial e^{2x} e 2 não for raiz da equação característica, podemos tentar um palpite do tipo y_p=Ae^{2x}.

Passo 2

Primeiro, verificamos a equação característica da parte homogênea
r^2 - 2r - 3 = 0
cuja solução é r=3 ou r=-1. Como 2 não está entre as raízes, assumimos
y_p = A e^{2x}.

Passo 3

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p' = 2A e^{2x},
y_p'' = 4A e^{2x}.
Substituindo na EDO:
y_p'' - 2y_p' - 3y_p = \bigl(4A - 2\cdot2A - 3A\bigr)e^{2x} = (-3A)e^{2x}
deve ser igual a 3e^{2x}. Logo,
-3A = 3 \quad\Longrightarrow\quad A = -1.

Resposta

A solução particular é
y_p(x) = -e^{2x}.

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