mostre que todo intervalo aberto é conjunto aberto

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para mostrar que todo intervalo aberto é um conjunto aberto. Isso tá dentro do estudo de topologia, que é uma área da matemática que lida com propriedades dos espaços que são preservadas através de deformações, como esticar ou dobrar, mas sem cortar ou colar. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é um intervalo aberto e o que define um conjunto aberto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um intervalo aberto. No conjunto dos números reais, um intervalo aberto é um conjunto de todos os números entre dois valores, mas sem incluir esses valores. Por exemplo, o intervalo aberto (a, b) inclui todos os números x tais que a < x < b.

Passo 3

Agora, o que é um conjunto aberto na topologia? Um conjunto U em R é considerado aberto se, para todo ponto x em U, existe uma distância pequena, chamada de raio, tal que todos os números dentro dessa distância de x também estão em U. Formalmente, para todo x in U, existe epsilon > 0 tal que (x - epsilon, x + epsilon) subseteq U.

Passo 4

Então, o que a gente precisa fazer é pegar um intervalo aberto (a, b) e mostrar que, para qualquer ponto x dentro desse intervalo, dá para encontrar um epsilon que satisfaça a condição para ser um conjunto aberto.

Passo 5

Vamos pegar um ponto qualquer x no intervalo (a, b). Como x está entre a e b, podemos calcular a distância dele para as extremidades: d1 = x - a e d2 = b - x. A menor dessas duas distâncias será o nosso epsilon, ou seja, epsilon = min(d1, d2).

Passo 6

Com esse epsilon, a gente tem que todo número no intervalo (x - epsilon, x + epsilon) também está dentro de (a, b), porque epsilon foi escolhido justamente para não ultrapassar as extremidades. Assim, para todo x in (a, b), existe um epsilon > 0 tal que (x - epsilon, x + epsilon) subseteq (a, b).

Resposta

Portanto, todo intervalo aberto (a, b) é um conjunto aberto.

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