mostre que todo intervalo aberto é conjunto aberto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para mostrar que todo intervalo aberto é um conjunto aberto. Isso tá dentro do estudo de topologia, que é uma área da matemática que lida com propriedades dos espaços que são preservadas através de deformações, como esticar ou dobrar, mas sem cortar ou colar. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é um intervalo aberto e o que define um conjunto aberto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um intervalo aberto. No conjunto dos números reais, um intervalo aberto é um conjunto de todos os números entre dois valores, mas sem incluir esses valores. Por exemplo, o intervalo aberto
inclui todos os números
tais que
.
Passo 3
Agora, o que é um conjunto aberto na topologia? Um conjunto
em
é considerado aberto se, para todo ponto
em
, existe uma distância pequena, chamada de raio, tal que todos os números dentro dessa distância de
também estão em
. Formalmente, para todo
, existe
tal que
.
Passo 4
Então, o que a gente precisa fazer é pegar um intervalo aberto
e mostrar que, para qualquer ponto
dentro desse intervalo, dá para encontrar um
que satisfaça a condição para ser um conjunto aberto.
Passo 5
Vamos pegar um ponto qualquer
no intervalo
. Como
está entre
e
, podemos calcular a distância dele para as extremidades:
e
. A menor dessas duas distâncias será o nosso
, ou seja,
.
Passo 6
Com esse
, a gente tem que todo número no intervalo
também está dentro de
, porque
foi escolhido justamente para não ultrapassar as extremidades. Assim, para todo
, existe um
tal que
.
Resposta
Portanto, todo intervalo aberto
é um conjunto aberto.