Determine a solução dos seguintes PVI’s usando convoluções:
y^{\prime}+6 y=1-9 \int_{0}^{t} y(u) d u ; y(0)=0

Passo 1

O enunciado dá o problema integral-diferencial inicial:
y^{\prime}(t)+6\,y(t)=1-9\int_{0}^{t} y(u)\,du,\qquad y(0)=0.
O que se pede: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação para t\ge0 e a condição inicial dada. As informações relevantes são:
\text{(i)}\; y^{\prime}(t)+6y(t)=1-9\int_{0}^{t}y(u)\,du, \qquad \text{(ii)}\; y(0)=0.

Passo 2

Vou usar transformada de Laplace e a propriedade de convolução para transformar a equação em uma equação algébrica no domínio s. Antes de aplicar, relembremos as fórmulas básicas que usaremos (explico devagarinho):
  • Definição da transformada de Laplace de uma função f(t):
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt.
Aqui s é a variável da transformada (número complexo com parte real suficiente grande) e \mathcal{L}\{f\}(s) é a imagem de f em s.
  • Transformada da derivada: se F(s)=\mathcal{L}\{f\}(s) e f(0) é conhecido, então
\mathcal{L}\{f'\}(s)=sF(s)-f(0).
Isto vem de integrar por partes a definição da transformada.
  • Transformada da integral acumulada \displaystyle \int_{0}^{t} f(u)\,du:
\mathcal{L}\Big\{\int_{0}^{t} f(u)\,du\Big\}(s)=\frac{1}{s}F(s).
Isso é útil porque a integral no enunciado é exatamente dessa forma.
  • Convolução: dado f e g,
(f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(t-u)\,g(u)\,du.
A propriedade importante é a do produto na transformada:
\mathcal{L}\{f*g\}(s)=\mathcal{L}\{f\}(s)\,\mathcal{L}\{g\}(s).
Vou usar as duas primeiras propriedades explicitamente; a noção de convolução está por trás da relação produto-transformada, e será mencionada ao interpretar o resultado se necessário.

Passo 3

Aplique a transformada de Laplace à equação dada. Denote Y(s)=\mathcal{L}\{y\}(s). Usando y(0)=0 e as propriedades acima:
  • \mathcal{L}\{y'\}(s)=sY(s)-y(0)=sY(s).
  • \mathcal{L}\{6y\}(s)=6Y(s).
  • \mathcal{L}\{1\}(s)=\dfrac{1}{s}.
  • \mathcal{L}\Big\{9\displaystyle\int_{0}^{t} y(u)\,du\Big\}(s)=9\cdot\frac{1}{s}Y(s)=\frac{9}{s}Y(s).
Substituindo tudo na transformada da equação:
sY(s)+6Y(s)=\frac{1}{s}-\frac{9}{s}Y(s).

Passo 4

Agora resolvemos a equação algébrica para Y(s). Agrupando termos com Y(s):
sY(s)+6Y(s)+\frac{9}{s}Y(s)=\frac{1}{s}.
Fatorando Y(s):
Y(s)\Bigl(s+6+\frac{9}{s}\Bigr)=\frac{1}{s}.
Colocando num único quociente:
s+6+\frac{9}{s}=\frac{s^2+6s+9}{s}=\frac{(s+3)^2}{s}.
Logo
Y(s)\cdot\frac{(s+3)^2}{s}=\frac{1}{s}.
Multiplicando ambos os lados por s obtemos
Y(s)(s+3)^2=1,
portanto
Y(s)=\frac{1}{(s+3)^2}.

Passo 5

Precisamos voltar ao domínio do tempo: encontrar y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}. Recorde de transformadas padrão:
\mathcal{L}\{t e^{-a t}\}(s)=\frac{1}{(s+a)^2}.
Aqui temos a=3. Portanto
y(t)=t e^{-3t},\qquad t\ge0.

Passo 6

Vamos fazer uma checagem rápida (sempre bom checar na prova): calcule y'(t), a integral e verifique a equação original.
  • Derivada:
y'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t e^{-3t}\bigr)=e^{-3t}-3t e^{-3t}=(1-3t)e^{-3t}.
  • Integral acumulada (eu peguei a integral com cálculo por partes):
\int_{0}^{t} y(u)\,du=\int_{0}^{t} u e^{-3u}\,du =-\Bigl(\frac{u}{3}+\frac{1}{9}\Bigr)e^{-3u}\Big|_{0}^{t} =-\Bigl(\frac{t}{3}+\frac{1}{9}\Bigr)e^{-3t}+\frac{1}{9}.
  • Agora o lado direito da equação original:
1-9\int_{0}^{t} y(u)\,du =1-9\Bigl[-\Bigl(\frac{t}{3}+\frac{1}{9}\Bigr)e^{-3t}+\frac{1}{9}\Bigr] = (1+3t)e^{-3t}.
  • E o lado esquerdo:
y'(t)+6y(t)=(1-3t)e^{-3t}+6t e^{-3t}=(1+3t)e^{-3t},
que coincide com o lado direito. Além disso y(0)=0. Tudo bate!

Resposta

y(t)=t e^{-3t}

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