Usando a tabela para a transformada de Laplace, determinar
para as funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar
. Informação relevante fornecida: a expressão explícita de
. Não há outras condições dadas no enunciado.
Passo 2
Relembrando duas propriedades-chave da transformada de Laplace (que vêm da tabela):
onde
é um número real e
é a variável complexa da transformada; e a linearidade:
onde
são constantes. Vou usar essas duas fórmulas passo a passo.
Passo 3
Primeiro expandimos a função para deixá-la em termos simples que aparecem na tabela. Usando
com
e
:
Como
, temos
Passo 4
Agora aplicamos a linearidade da transformada:
Usando a fórmula da tabela
e
, obtemos:
A região de convergência comum é determinada pelo termo que exige maior
, aqui
.
Passo 5
Somamos as frações obtidas:
Primeiro combinamos as duas frações com denominador conjugado:
Logo
Colocando em um denominador comum
:
Passo 6
Portanto a transformada simplificada é
com região de convergência
(porque o termo
exige
).