Usando a tabela para a transformada de Laplace, determinar \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} para as funções abaixo:
f(t)=\left(e^{t}-e^{-t}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função \;f(t)=\left(e^{t}-e^{-t}\right)^{2}\; e pede para determinar \mathcal{L}\{f(t)\}. Informação relevante fornecida: a expressão explícita de f(t). Não há outras condições dadas no enunciado.

Passo 2

Relembrando duas propriedades-chave da transformada de Laplace (que vêm da tabela):
\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a},\qquad \text{para }s>a,
onde a é um número real e s é a variável complexa da transformada; e a linearidade:
\mathcal{L}\{c_1 g_1(t)+c_2 g_2(t)\}=c_1\mathcal{L}\{g_1(t)\}+c_2\mathcal{L}\{g_2(t)\},
onde c_1,c_2 são constantes. Vou usar essas duas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Primeiro expandimos a função para deixá-la em termos simples que aparecem na tabela. Usando (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 com a=e^{t} e b=e^{-t}:
\left(e^{t}-e^{-t}\right)^{2}=e^{2t}-2\cdot e^{t}e^{-t}+e^{-2t}.
Como e^{t}e^{-t}=e^{0}=1, temos
\boxed{\,f(t)=e^{2t}-2+e^{-2t}\,}.

Passo 4

Agora aplicamos a linearidade da transformada:
\mathcal{L}\{f(t)\}=\mathcal{L}\{e^{2t}\}-2\mathcal{L}\{1\}+\mathcal{L}\{e^{-2t}\}.
Usando a fórmula da tabela \mathcal{L}\{e^{at}\}=1/(s-a) e \mathcal{L}\{1\}=1/s, obtemos:
\mathcal{L}\{e^{2t}\}=\frac{1}{s-2}\quad(\text{existe para }s>2),
\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}\quad(\text{existe para }s>0),
\mathcal{L}\{e^{-2t}\}=\frac{1}{s+2}\quad(\text{existe para }s>-2).
A região de convergência comum é determinada pelo termo que exige maior s, aqui s>2.

Passo 5

Somamos as frações obtidas:
\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{1}{s-2}-\frac{2}{s}+\frac{1}{s+2}.
Primeiro combinamos as duas frações com denominador conjugado:
\frac{1}{s-2}+\frac{1}{s+2}=\frac{(s+2)+(s-2)}{(s-2)(s+2)}=\frac{2s}{s^{2}-4}.
Logo
\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{2s}{s^{2}-4}-\frac{2}{s}.
Colocando em um denominador comum s(s^{2}-4):
\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{2s\cdot s - 2(s^{2}-4)}{s(s^{2}-4)}=\frac{2s^{2}-2s^{2}+8}{s(s^{2}-4)}=\frac{8}{s(s^{2}-4)}.

Passo 6

Portanto a transformada simplificada é
\boxed{\displaystyle \mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{8}{s(s^{2}-4)}},
com região de convergência \;s>2\; (porque o termo e^{2t} exige s>2).

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{8}{s(s^{2}-4)},\quad s>2

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